Operadores diferenciales en anillos conmutativos generales
Sea k un campo algebraicamente cerrado de característica cero, y sea R una k-álgebra conmutativa. Entonces un operador diferencial (Grothendieck) en R es un endomorfismo k-lineal $\delta$ de R, con la propiedad de que existe alguna $n\in \mathbb{N}$ tal que para cualquier $r_0,r_1...r_n\in R$ el conmutador iterado desaparece: $$ [...[[\delta,r_0],r_1]...,r_n]=0$$ Sea el más pequeño $n$ sea el pedir de $\delta$ .
El conjunto de todos los operadores diferenciales es entonces un subring de $End_k(R)$ que tiene una filtración ascendente dada por el orden, y con $D_0(R)=R$ . Si $R=k[x_1,...x_r]$ entonces $D(R)$ serán operadores diferenciales polinómicos (en el sentido del cálculo) en r-variables. En términos más generales, si R es el anillo de funciones regulares sobre una variedad afín lisa, entonces $D(R)$ es el anillo habitual de operadores diferenciales generado por operadores de multiplicación y derivadas direccionales.
Sin embargo, si $Spec(R)$ no es suave, entonces $D(R)$ no tiene una interpretación geométrica evidente. Por ejemplo, si $R=k[x]/x^n$ entonces todos Los endomorfismos k-lineales de R son operadores diferenciales, por lo que $$D(k[x]/x^n)=Mat_n(k)$$
Idempotentes
Tanto por razones de investigación como por curiosidad, me interesan los elementos idempotentes en $D(R)$ para R un anillo conmutativo general. Un idempotente es un elemento $\delta\in D(R)$ tal que $\delta^2=\delta$ . Idempotentes en un anillo conmutativo $R$ corresponden a proyecciones sobre componentes desconectadas de $Spec(R)$ pero $D(R)$ no es conmutativa. Si el anillo base $R$ hace tienen idempotentes, entonces también serán idempotentes bajo la inclusión $R\subset D(R)$ .
Sin embargo, puede haber idempotentes de orden superior. Consideremos el ejemplo anterior, de $R=k[x]/x^n$ . Toma, $D(R)=Mat_n(k)$ y hay muchos idempotentes en $Mat_n(k)$ aunque $R$ aquí no tiene ninguna. Como ejemplo explícito, tomemos $k[x]/x^2$ y consideremos el endomorfismo que envía 1 a 0 y x a sí mismo. Esto se puede realizar mediante el operador diferencial $x\partial_x$ (que tiene una acción bien definida sobre $k[x]/x^2$ ), y se cuadra consigo mismo. En general, creo que $R$ debe tener elementos nilpotentes si $D(R)$ tendrá idempotentes de orden positivo (ya que el símbolo tiene que cuadrar a cero).
Mi pregunta general es, ¿qué se sabe sobre los elementos idempotentes generales en $D(R)$ ? ¿Alguien los ha examinado seriamente? ¿Se corresponden con algo geométrico? ¿Existe alguna condición que se pueda poner a una descomposición subespacial $V\oplus W=R$ tal que la proyección sobre $V$ que mata $W$ es un operador diferencial para la estructura del álgebra en $R$ ?
