Hallar el rango de una función trigonométrica

Question

La gama de $$f(x)=3\cos^2x-8\sqrt3 \cos x\cdot\sin x+5\sin^2x-7$$ viene dado por:
(1) $[-7,7]$
(2) $[-10,4]$
(3) $[-4,4]$
(4) $[-10,7]$

RESPUESTA: (2)

Mi solución

La ecuación puede escribirse como $$3\cos^2x-8\sqrt3 \cos x\cdot \sin x+16\sin^2x-11\sin^2x-7 \\\implies (\sqrt3\cos x-4\sin x)^2-11\sin^2x-7$$

Así que $y=\sqrt3\cos x+4\sin x$

$$-\sqrt{(\sqrt3)^2+4^2} \le y\le \sqrt{(\sqrt3)^2+4^2} \implies 19 \le y^2 \le 19 \implies y^2\in[0,19]$$

CASO 1: Cuando $y^2=0$ $$f(x)=0-11\sin^2x-7 \text{ ,taking } \sin^2 x=0\text{, minimum value of }f(x)= -7$$

CASO 2: Cuando $y^2=19$ $$f(x)=19-11\sin^2x-7 \text{ ,taking } \sin^2 x=1\text{, minimum value of }f(x)= 1$$

Así que mi rango es $y\in[-7, 1]$

¿dónde está el problema?

Answer 1

Hagámoslo. \begin{align} f(x)&=3\cos^2 x−8\sqrt3 \cos x\sin x + 5\sin^2x−7 =\\ &= 3(\cos^2x + \sin^2 x) - 4\sqrt3\cdot 2\sin x\cos x + 2\sin^2 x - 7=\\ &=3 - 4\sqrt 3\sin 2x + 2\sin^2 x - 7 = \\ &=-4 -4\sqrt 3\sin 2x + 1 - \cos 2x=\\ &=-\cos2x -4\sqrt 3\sin 2x-3. \end{align} Ahora tenemos $$1\cdot\cos2x +4\sqrt 3\cdot\sin 2x = \sqrt{1^2 + (4\sqrt 3)^2}\sin(2x+\varphi)=7\sin(2x+\varphi),$$ donde $\sin\varphi=1/7$ , $\cos\varphi=4\sqrt3/7$ . Así que tienes $$f(x)=-7\sin(2x+\varphi)-3,$$ y el alcance es $[-7-3,7-3] = [-10, 4]$ .

Answer 2

El problema es cuando dices $y=0$ se fija el valor de $sinx$ como $\sqrt3cosx-4sinx=0$ así que $tanx=\frac{\sqrt3}{4}$ y $sin^2x= \frac{3}{19}$ no 0 o 1 . Debe escribirlo de la forma $asin2x+bcos2x+c$ como se indica en el comentario.

Answer 3

Utiliza primero las fórmulas del doble ángulo para bajar el grado

$$3\frac{\cos(2x)+1}2-\frac82\sqrt3 \sin(2x)+5\frac{1-\cos(2x)}2-7 =-\cos(2x)-4\sqrt3 \sin(2x)-3.$$ El producto punto $$(\cos(2x),\sin(2x))\cdot(-1,-4\sqrt3)$$ es igual a $$1\cdot\sqrt{(-1)^2+(-4\sqrt3)^2}\cdot\cos(\phi)$$ donde $\phi$ es el ángulo entre los vectores, por lo que el rango es $$[-3-7,-3+7].$$