Integral de contorno de $\frac{\bar{z}}{z-Z}$ en un cuadrado centrado en el origen

Question

Tengo problemas para calcular la siguiente integral:

$\oint_C \frac{\bar{z}}{z-Z} dz$

Aquí, Z es una constante compleja y C es el contorno de un cuadrado de lado $2a$ centrado en el origen.

He supuesto que el problema es que $\bar{z}$ no es analítica dentro de C e intentó sustituir $\bar{z}$ con $-z\pm 2a$ o $z\pm 2a i$ para cada uno de los segmentos rectos correspondientes del contorno. El problema es que obtengo discontinuidades inesperadas en $Re(Z)=\pm a$ y en $Im(Z)=\pm a$ .

¿Puede alguien darme una pista para resolver esto?

Answer 1

Yo simplemente adoptaría un enfoque directo y calcularía la integral explícitamente.

$$\oint_C dz \frac{\bar{z}}{z-Z} = \int_{-a}^a dx \frac{x+i a}{x-i a -Z}+i \int_{-a}^a dy \frac{a-i y}{a+i y-Z}\\- \int_{-a}^a dx \frac{x-i a}{x+i a -Z}-i \int_{-a}^a dy \frac{-a-i y}{-a+i y-Z}$$