Cómo calcular $\displaystyle\lim_{k \rightarrow\infty} \frac{(-1)^k}{k^{\frac{1}{k}}}$ ?

Question

Pues parece imposible...

¿Existe este límite (en R)?

He calculado este límite con mathematica y he obtenido $e^{2i\space0\space to\space \pi}$ pero no sé lo que es...

¿Cómo puedo saber $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^{\frac{1}{k}}}$ no converge?

Gracias.

Answer 1

Sugerencia de $k^{1/k}=e^{\frac{1}{k}\log k}$ encontramos que $\lim_{k\to\infty}k^{1/k}=1$ y la secuencia $((-1)^k)$ no tiene límite, ¿qué se puede concluir?

Answer 2

Tenga en cuenta que Mathematica dice aquí que no existe ningún límite. La salida

Exp[2 I Intervall[{0,Pi}]]

Sólo decir que todos los valores que se toman por lo suficientemente grande $k$ son de la forma $$\exp(2i x)$$ con $x\in[0,\pi]$ . Mathematica piensa $k\in \mathbb{R}$ por eso da un Intervall, para $k\in \mathbb{N}$ la secuencia tiene los dos puntos de acumulación $-1$ y $1$ .

Porque $k^\frac{1}{k}$ converge a $1$ y siempre mayor igual a 1, da este resultado.

Para la serie uso que es necesario que la secuencia que se suma debe ser a a $0$ secuencia convergente.