Problema de regularización de Moreau-Yosida

Question

Sea $$F(x)=\min\limits_{y\in \mathbb R^n}\{f(y)+\|x-y\|^2\} ,$$ donde $f(y)$ es convexa y está acotada por debajo. Cómo demostrar que

1. si $x^*\in \arg \min \{F(x)\}$ entonces $x^*$ está en el cierre del dominio efectivo de $f$ .

2. si $x^*$ está en el interior relativo del dominio efectivo de $f$ y $x^*\in \arg \min \{F(x)\}$ entonces $x^*\in \arg \min \{f(x)\}$ .

Answer 1

He aquí algunas pistas y esbozos de pruebas. Si el dominio efectivo de $f$ es vacío, entonces es trivial, así que supongamos que es no vacío.

Para 1, si $x^*$ no está en el cierre del dominio efectivo, entonces existe una bola abierta $B$ que contiene $x^*$ tal que $f(x)=\infty$ para todos $x\in B$ . Sea $y$ sea tal que $F(x^*)=f(y) + \|x^*-y\|^2$ . Tenga en cuenta que $y\neq x^*$ como $y$ está en el dominio efectivo de $f$ . A continuación, elija $x'\in B$ más cerca de $y$ que $x^*$ . Entonces

$ F(x') \leq f(y) + \|x'-y\|^2 < f(y) + \|x^*-y\|^2 = F(x^*)$

lo cual es una contradicción.

Para 2, sea $y$ sea tal que $F(x^*)=f(y)+\|x^*-y\|^2$ . Desde $F(x^*) \leq F(y) \leq f(y)$ se deduce que $y=x^*$ . Así que $F(x^*)=f(x^*)$ . Desde $\inf F \leq \inf f$ se deduce que $x^* \in \arg\min\{f\}$ .