¿Es lim R_i = O(colim Spec R_i) cierto para (co)límites finitos?

Question

$\DeclareMathOperator{\colim}{colim} \DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}$

[Edito1] Debo señalar que los colímites de abajo están en la categoría de esquemas, ya que las afirmaciones son trivialmente falsas para colímitos en la categoría de esquemas afines. [/Editar1]

En esta respuesta Martin señala que $\coprod_i \Spec R_i \ne \Spec \prod_i R_i$ en general. Esto también se demuestra para $$ \colim_{i \in I} \Spec R_i \ne \Spec \lim_{i \in I} R_i. $$ (Aunque tomar un esquema no afín y escribirlo como colímite de afines podría ser incluso una prueba más "natural"). Ahora me preguntaba qué pasa si tomamos secciones globales en ambos lados, es decir, $$ \mathcal{O}(\colim_{i \in I} \Spec R_i) \stackrel{?}{=} \lim_{i \in I} R_i. $$ Durante varios (co)límites, comprobé que esto es cierto. Y de hecho hay un mapa natural de derecha a izquierda.

Pero, ¿es este mapa

$$ \lim_{i \in I} R_i \to \mathcal{O}(\colim_{i \in I} \Spec R_i) $$

un isomorfismo:

• cuando $I$ ¿es finito?
• si es así, cuándo $I$ ¿es pequeño?

Answer 1

Tenemos una equivalencia de categorías $Aff\simeq Ring^{op}$ y un par de functores adjuntos $$\mathcal{O}:Sch\rightleftharpoons Ring^{op} : Spec$$ $$\mathcal{O} \dashv Spec$$ La categoría de esquemas afines es claramente una subcategoría completa de $Sch$ . Esto nos lleva a reformular la afirmación anterior: la inclusión de la subcategoría completa $J:Aff\hookrightarrow Sch$ tiene un adjunto izquierdo $L=Spec\circ \mathcal{O}$ . Así que $Aff$ es una subcategoría reflexiva de $Sch$ . Su pregunta es entonces sobre el isomorfismo $$\mathrm{colim}_i A_i \simeq L(\mathrm{colim}_i J(A_i))$$ Esto es cierto, porque para una subcategoría reflexiva $L\circ J \simeq 1$ (véase, por ejemplo, el libro de Maclane) y los contiguos izquierdos ( $L$ ) conmutan con colímitos. $$\mathrm{colim}_i A_i \simeq \mathrm{colim}_i LJ(A_i) \simeq L(\mathrm{colim}_i J(A_i))$$

Es un isomorfismo siempre que exista cualquier colímite mencionado, también define entonces todos los demás colímitos mencionados.

Answer 2

Algunas adiciones:

Es bastante raro que un diagrama de esquemas tenga un colímite en la categoría de esquemas, aunque todos los esquemas del diagrama sean afines. Para un buen contraejemplo, véase aquí . Ejemplos positivos son: Coproductos, así como pushouts a lo largo de inmersiones abiertas (este es el procedimiento habitual de encolado), pero también a lo largo de cerrado inmersiones (véase Karl Schwede y para más resultados en este sentido, véase esta discusión sobre el modus operandi ). En general, es bastante difícil demostrar que algún diagrama de esquemas no tiene colímite (porque es no suficiente para demostrar que el colímite en la categoría mayor de espacios localmente anillados (o espacios algebraicos o similares) no es un esquema); pero en cualquier caso, el functor $\mathcal{O} : \mathrm{Sch} \to \mathrm{Ring}^{op}$ es adjunto a la izquierda de $\mathrm{Spec}$ y, por tanto, preserva todos colímites que existen en $\mathrm{Sch}$ No importa cómo se vean.

Por ejemplo, si el colímite $X$ de la secuencia de inmersiones cerradas $\mathbb{A}^0 \hookrightarrow \mathbb{A}^1 \hookrightarrow \mathbb{A}^2 \hookrightarrow \dotsc$ existe, entonces tenemos $\mathcal{O}(X) = \mathrm{lim}_n ~ k[x_1,\dotsc,x_n]$ . Sigue siendo una incógnita si $X$ existe (pero no es realmente relevante para los geómetras algebraicos porque en cuanto no hay colímite a primera vista, utilizan en su lugar esquemas ind).

Otras preguntas MO sobre colímites de esquemas que ilustran los problemas:

• Coeficientes GIT frente a coequilibradores LRS
• ¿Son locales los coigualadores?
• ¿Los coigualadores son suryectivos?