Cada elemento de un subgrupo $N$ normaliza $N$

Question

Sea $N$ sea un subgrupo de un grupo $G$ . Por definición, un elemento $g\in G$ se dice que normaliza $N$ si $gNg^{-1}=N$ . Intento mostrar cada elemento de $N$ normaliza $N$ .

En otras palabras, quiero mostrar para todos $n\in N$ , $nNn^{-1}=N$ .

Mi intento:

Fijar $n\in N$ y que $x\in nNn^{-1}$ . Entonces $x=nhn^{-1}$ para algunos $h\in N$ . Desde $N$ es un grupo, $x\in N$ . Así que $nNn^{-1}\subset N$ . Tengo problemas para mostrar la otra inclusión. Deje que $y\in N$ . Quiero demostrar que $y\in nNn^{-1}$ para mostrar $N\subset nNn^{-1}$ . ¿Puede alguien ayudarme a resolverlo?

Answer 1

Podemos decir aún más: por cada $n\in N$ tenemos $N=nN=Nn$ si $N$ es un subgrupo y $n\in N$ .

Para demostrar $N\subseteq nN$ Considere $x=n(n^{-1}x)$ para $x\in N$ .

Podemos utilizar el mismo razonamiento directamente para $N\subseteq nNn^{-1}$ : escribir $x\in N$ como $n(n^{-1}xn)n^{-1}$ .

Answer 2

Sugerencia $$y=n(n^{-1}yn)n^{-1}\\ n^{-1}yn \in N$$