Inicio de la prueba de Burnsides $p^aq^b$ Teorema

Question

Teorema. Todo grupo de orden $p^aq^b$ ( $p,q$ primos $a,b \geq 0$ ) es soluble.

Prueba. Suficiente para demostrar que ningún grupo simple no abeliano tiene orden $p^aq^b$ . [Luego romper $G$ en trozos sencillos $\implies$ debe ser $C_p \implies G$ soluble]. $\dots$

¿Por qué basta con demostrar que ningún grupo simple no abeliano...?

Ahora estoy asumiendo que hay un teorema que dice que cualquier grupo finito puede ser dividido en trozos simples (puede que lo haya olvidado), pero no puedo ver por qué esos trozos serían $C_p$ ? Tampoco veo por qué esto implica que $G$ es soluble.

Answer 1

Consideremos una serie de composición $$ 1 = G_0 \lhd G_1 \lhd \cdots \lhd G_n = G $$ de forma que cada $L_i := G_{i+1}/G_i$ es simple. Siendo supragrupos de $G$ El $G_i$ tener orden $p^{a_i}q^{b_i}$ para algunos $a_i$ , $b_i$ . De ahí también la $L_i$ tienen pedidos $p^{c_i}q^{b_i}$ . En $L_i$ es simple y no existen grupos simples de orden $p^aq^b$ para $ab \ne 0$ (¡eso es lo que queda por demostrar!), debemos tener que el orden de cada $L_i$ es una potencia prima. Como los únicos grupos simples de orden de potencia prima son los grupos cíclicos, $L_i$ es cíclico para cada $i$ . Por lo tanto, la serie de composición anterior para $G$ tiene factores abelianos, es decir, $G$ es soluble.

Answer 2

Podemos suponer que $G$ es no abeliano simple;

Empieza con let $G$ sea un contraejemplo mínimo,

Entonces todo subgrupo y todo cuatiente de $G$ debe poder resolverse mediante la minimalidad de $G$ . Pero sabemos que si $N$ y $G/N$ tiene solución, entonces $G$ es resoluble. Por lo tanto, debemos suponer que $G$ es simple, es decir $N=1$ o $N=G$ .