Números primos y un Juego de Dos jugadores

Question

En esta pregunta, $\mathbb{N}_0$ es el conjunto de todos los números enteros no negativos. La notación $\mathbb{N}$ está reservado para el conjunto de todos los enteros positivos.

Alex y Beth son del siguiente juego. Inicialmente, no se $n\in\mathbb{N}_0$ canicas en una tabla. Alex y Beth alternativamente recoger algunos de los mármoles de la tabla, con Alex va primero. El número de retirados canicas por turno debe ser un número primo (es decir,, $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, etc.). La primera persona que no puede hacer un movimiento pierde el juego. Si $W$ es el conjunto de todos los números enteros no negativos tales que Alex siempre se puede ganar si $n\in W$, mientras que el $L$ es el conjunto de todos los números enteros no negativos tales que Beth tiene una estrategia ganadora si $n\in L$.

Es cierto que $L$ es un subconjunto infinito de $\mathbb{N}_0$ (claramente, $W$ es infinito, ya que contiene todos los números primos)? Ahora sabemos que tanto $W$ $L$ son infinitos subconjuntos de a $\mathbb{N}_0$. ¿Qué son naturales densidades de $W$$L$? ¿Cuáles son logarítmicas densidades de $W$$L$? Qué $L$ contienen un número infinito de pares de enteros consecutivos? Qué $L$ contienen sólo un número finito de números enteros? Para un entero positivo $k$, ¿cada uno de $W$ $L$ siempre tienen infinitamente muchos subconjuntos de números enteros consecutivos de tamaño $k$? Qué $L$ contienen un número infinitamente de semiprimes? Es la suma de $\sum_{n\in L\setminus\{0\}}\,\frac{1}{n}$ finito (claramente, $\sum_{n\in W}\,\frac{1}{n}$ es infinito)?

Para empezar, $W=\{2,3,4,5,6,7,8,11,12,13,14,15,\ldots\}$$L=\{0,1,9,10,25,34,35,\ldots\}$. Suponemos que $L$ es un subconjunto infinito de $\mathbb{N}_0$ contiene infinidad de semiprimes tal que $\sum_{n\in L\setminus\{0\}}\,\frac{1}{n}$ es finito. Además, espero que el natural de la densidad y la densidad logarítmica de $W$ ambos $1$, mientras que el natural de la densidad y la densidad logarítmica de $L$ ambos $0$. Las referencias son muy bienvenidos.

De acuerdo a la OEIS enlace dada por Michael Lugo en un comentario más abajo, parece que $\{0,1\}$, $\{9,10\}$, $\{34,35\}$, y $\{309,310\}$ son los únicos subconjuntos de a $L$ consta de enteros consecutivos (puedo estar equivocado asumir que estos son los únicos), y $W$ tiene al menos tres subconjuntos de tamaño $29$ que están compuestas por números enteros consecutivos. Además, este conjunto de datos sugiere que el natural de la densidad y la densidad logarítmica de $L$ existen y son iguales, con el valor en algún lugar entre el$0.1$$0.2$. Además, $\sum_{n\in L\setminus\{0\}}\,\frac{1}{n}>2.2$, y, por supuesto, si el logarítmica de la densidad de $L$ existe y es positiva, entonces esta suma es infinita.

Un interesante comentario de Michael ($\neq$ Michael Lugo) es que el conjunto $L$ contiene muy pocos números. Entre el más pequeño $10000$ elementos de $L$ sólo $5$ de ellos son incluso. Esto lleva a mi especulación de que $L$ tiene sólo un número finito de números. Michael también se verifica que $L$ tiene un natural positiva de la densidad de al menos $0.1$ y en la mayoría de las $0.25$ si $L$ sólo ha $5$ incluso los elementos.

Si, por el contrario, el número de retirados canicas por turno debe pertenecer en conjunto no vacío $S \subseteq \mathbb{N}$ tal que $\mathbb{N}\setminus S$ es infinito, vamos a $W_S$ $L_S$ ser los conjuntos de $W$$L$, respectivamente, para esta $S$. ¿Qué se puede decir acerca de la finitud de $W_S$ e de $L_S$? Cómo acerca de la finitud de la recíproca sumas $\sum_{n\in W_S}\,\frac{1}{n}$$\sum_{n\in L_S\setminus\{0\}}\,\frac{1}{n}$? ¿Qué sabemos sobre la naturaleza y la logarítmica densidades de $W_S$$L_S$?

Por ejemplo, si $S=\{1,2,\ldots,m\}$ algunos $m\in\mathbb{N}$, luego tenemos a $W_S=\big\{n\in\mathbb{N}_0\,\big|\,(m+1)\nmid n\big\}$$L_S=\big\{n\in\mathbb{N}_0\,\big|\,(m+1)\mid n\big\}$. Por lo tanto, $W_S$ $L_S$ son conjuntos infinitos con $\sum_{n\in W_S}\,\frac{1}{n}$ $\sum_{n \in L_S\setminus\{0\}}\frac{1}{n}$ ser también infinito. Tenga en cuenta que el natural y logarítmica densidades de $W_S$ ambos $1-\frac{1}{m+1}$, y el natural y logarítmica densidades de $L_S$ ambos $\frac{1}{m+1}$.

Referencia:

https://oeis.org/A025043

Answer 1

Suponga $L$ es finito, es decir $\max L=m$. Entonces Para cualquier $n>m$ existe $p$$n-p\in L$. Como esto implica que todo el primer lagunas $<m$, es absurdo. Por lo tanto $L$ es infinito.

Answer 2

Supongamos que hay acerca de $f(N)$ perder puntos en $[1,N]$. Habría alrededor de $f(N+1)\approx f(N)+1f'(N)$ perder puntos en $[1,N+1]$, lo $f'(N)$ es la probabilidad de que $N+1$ es perder un punto.
Por otro lado, la probabilidad de que $N+1$ es perder un punto es la posibilidad de que todos los $N+1-a$ son compuestos.
Pretender que el $N+1-a$ todos los $O(N)$, entonces esta oportunidad sería $$\left(1-\frac1{\ln N}\right)^{f(N)}=f'(N)$$
Deje $f(N)=(\ln N)^2g(N)$.
$(1-1/\ln N)^{\ln N}$ es aproximadamente el $1/e$, de manera que la ecuación es de aproximadamente $$N^{-g(N)}=\frac{2\ln Ng(N)}N+\ln(N)^2g'(N)$$ Si $g(N)\approx 1$, entonces el lado izquierdo es demasiado pequeño; si $g(N)\approx1-\epsilon$, a continuación, el lado izquierdo es demasiado grande. Así que creo $f(N)\approx(\ln N)^2$
EDITAR : Resulta que esto es incorrecto porque los números son en su mayoría impar. Que hace que sea mucho más fácil para un nuevo número impar para hacer la lista. Si dicen que un quinto de los números impares están en la lista, entonces la probabilidad de un nuevo aun $N$ para hacer la lista sería $(1-1/\ln N)^{N/10}$. Este llega a cero mucho más rápido que $1/N^2$, por lo que tiene una suma finita, y espero que un número finito de incluso $N$ para hacer la lista.