Centralizador de proyecciones

Question

Sea $H$ ser un Espacio de Hilbert y $p, q$ proyectores autoadjuntos en $B(H)$ ,
es decir $$p^2=p=p^* \space \text{ and } \space q^2=q=q^*.$$ Supongamos que tienen los mismos centralizadores $C(p)=C(q)$ .
¿Es cierto que $p=\pm q$ ?
Aquí $C(x)=\{y\in B(H) : yx=xy\}$ .
Tal vez estoy preguntando un resultado bien conocido, pero no pude encontrar nada acerca de este problema en la literatura.

Answer 1

Mira en las notas de Vaughan Jones, Ejercicio 2.1.13. $A$ y $A^\ast$ preservar un subespacio $K$ es decir $A K \subset K$ y $A^\ast K \subset K$ si $[A,P_K] = 0$ donde $P_K$ es la proyección ortogonal sobre $K$ .