¿Qué son exactamente los componentes independientes?

Question

¿Cuáles son las 20 componentes independientes no nulas del tensor de curvatura de Riemann en 4D? (No cuántas, ya sé que son veinte, sino específicamente qué componentes son distintas de cero).

Answer 1

Mantiene $R_{\alpha \alpha \mu \nu} = 0$ para cada dimensión $\alpha$ donde $R_{\lambda \kappa \mu \nu}$ toma derivadas en $\lambda$ y $\kappa$ dirección debido a la antisimetría. Todas las demás componentes del tensor de Riemann son distintas de cero.

Answer 2

Cuando se considera el tensor de Riemann como un mapa $R(p,q,r,s) = R_{abcd} p^a q^b r^c s^d$ para vectores $p,q,r,s$ en alguna base (con sumas implícitas), entonces algunos de los componentes $R_{abcd}$ son automáticamente cero: siempre que $a=b$ o $c=d$ por ejemplo.

Esto puede parecer un poco desconcertante: ¿por qué son automáticamente cero? Una forma de verlo es que el tensor de Riemann es un enunciado sobre cómo conmutan las derivadas en aviones --y si las derivadas no conmutan, entonces en la que los aviones ¿recogemos plazos adicionales?

Así que el $ab$ o $cd$ los pares de índices deben representar planos, y esos planos serían degenerados si $a=b$ o $c=d$ . Por lo tanto, las componentes del tensor de Riemann allí son automáticamente cero.