Grupos de Galois de una familia de polinomios

Question

He tropezado con la familia de polinomios $ f_p(x) = x^{p-1} + 2 x^{p-2} + \cdots + (p-1) x + p $ , donde $p$ es un primo impar. No es muy difícil demostrar que $f_p(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ -- mira el polígono Newton de $f_p(x+1)$ en $\mathbb{Q}_p$ y se ve que se factoriza como el producto de un polinomio irreducible de grado $p-2$ y una lineal. Dado que $f_p(x)$ no tiene raíces reales (véase la derivada de $f_p(x) (x-1)^2$ ) debe ser irreducible sobre $\mathbb{Q}$ . Tampoco es difícil ver que los únicos primos que dividen el discriminante son $2, p$ y los primos que dividen a $p+1$ . Yo esperaría que el grupo de Galois de un polinomio aleatorio fuera el grupo simétrico completo. De hecho, según Magma esto es cierto para $f_p(x)$ para $p=3,5, \dots, 61$ a excepción de $p=7,17$ . Así que mi pregunta es ¿son éstas las únicas excepciones?

Añadido más tarde: He hecho que Magma encuentre el grupo de Galois para primos hasta 101 y ha encontrado otra excepción: $p=97$ . Así que mi suposición inicial era errónea.

Otra adición: Si uno mira a impar $p$ (no sólo prime) para $p < 100$ hay otra excepción, 49. También 241 es no una excepción (lectura errónea de la salida de magma).

Las ideas de los dos documentos siguientes pueden ser de ayuda:

"On the Galois Groups of the exponential Taylor polynomials" por Robert Coleman, en L'Enseignement Mathematique, v 33 (1987) pp 183-189

y

"On the Galois Group of generalized Laguerre polynomials" de Farshid Hajir, J. Th'eor. Nombres Bordeaux 17 (2005), nº 2, 517-525 (también disponible en la página web del autor).

Answer 1

A continuación se demuestra la afirmación de David sobre el discriminante.

$f_n(x) := x^{n-1}\ +\ 2x^{n-2}\ +\ ...\ +\ n$

$f_n(x) = x\frac{x^n-1}{(x-1)^2}-\frac{n}{x-1}$

Diga $f_n(\alpha)=0$ ,

$f'_n(x) = \frac{x^n-1}{(x-1)^2} + x\frac{nx^{n-1}(x-1)^2-2(x-1)(x^n-1)}{(x-1)^4}+\frac{n}{(x-1)^2}$

$f'_n(\alpha) = \frac{n}{\alpha(\alpha-1)}+(n(\frac{n}{\alpha(\alpha-1)}+\frac{1}{(\alpha-1)^2})-\frac{2\alpha}{\alpha-1}\frac{n}{\alpha(\alpha-1)})+\frac{n}{(\alpha-1)^2}$

$=\frac{n}{\alpha(\alpha-1)^2}((\alpha-1)+(n(\alpha-1)+\alpha)-2\alpha+\alpha)$

$=\frac{n(n+1)(\alpha-1)}{\alpha(\alpha-1)^2}=\frac{n(n+1)}{\alpha(\alpha-1)}$

$\Delta_{f_n} = (-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}} \text{Nm}(f'_n(\alpha)) = (-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\frac{(n(n+1))^{n-1}}{nf(1)} = (-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}2n^{n-3}(n+1)^{n-2}$

Esto demuestra que siempre que $n+1$ es dos veces un cuadrado impar el discriminante es un cuadrado.

Answer 2

El discriminante de este polinomio es $(-1)^{\binom{p}{2}} 2 p^{p-3} (p+1)^{p-2}$ . Así, siempre que $p$ es de la forma $2k^2-1$ con $k$ impar, el discriminante será un cuadrado perfecto y el grupo de Galois será un subgrupo del grupo alterno. Eso explica todos los contraejemplos que hemos encontrado. Verifiquemos ahora que éste es el discriminante.

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Los signos me resultan difíciles esta noche, así que sólo pondré mis fórmulas hasta un signo.

Comenzamos con la siguiente observación. Sea $f$ sea un polinomio de grado $n$ . Entonces $$\mathrm{Disc} ( f(x) (x-1)) = f(1)^2 \mathrm{Disc} (f(x)) \quad (*)$$ Para verlo, veamos $r_1$ , $r_2$ , ..., $r_n$ sean las raíces del polinomio $f$ y recuerda que $\mathrm{Disc}(f) = \prod_{i < j} (r_i-r_j)^2.$

Ahora, recordemos la identidad $$\mathrm{Disc}(x^{n+1}-ax+b) = \left( (n+1)^{n+1} b^n - n^n a^{n+1} \right).$$ Es fácil comprobar que el lado derecho desaparece si y sólo si $x^{n+1}-ax+b$ tiene una raíz en común con su derivada $(n+1)x^n-a$ por lo que las dos partes coinciden hasta una constante. La comprobación de la constante se deja como ejercicio.

Enchufar $a=b+1$ obtenemos $$\mathrm{Disc}(x^{n+1}-(b+1)x+b) = \left( (n+1)^{n+1} b^n - n^n (b+1)^{n+1} \right).$$ Aplicación de $(*)$ a la identidad $x^{n+1}-(b+1)x+b = (x-1)(x^n+x^{n-1}+\cdots+x^2+x-b)$ obtenemos $$\mathrm{Disc}(x^n+x^{n-1}+\cdots+x^2+x-b) = \frac{ (n+1)^{n+1} b^n - n^n (b+1)^{n+1} }{(n-b)^2}.$$

Tomando el límite como $b \to n$ y utilizando l'Hospital dos veces, obtenemos $$\mathrm{Disc}(x^n+x^{n-1}+\cdots+x^2+x-n) =$$ $$ (-1)^{\binom{n+1}{2}} \frac{ (n+1)^{n+1} n (n-1) n^{n-2} - n^n (n+1) n (n+1)^{n-1} }{2}$$ $$= \frac{ (n+1)^n n^{n-1} \left( (n+1)(n-1) - n^2 \right) }{2} = \frac{ (n+1)^n n^{n-1} }{2}$$

Ahora, aplicando $(*)$ una vez más, obtenemos $$\mathrm{Disc}(x^{n-1} + 2 x^{n-2} + \cdots + (n-1) x + n )$$ $$ \frac{ (n+1)^n n^{n-1} }{2} \ \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^{-2} = 2 (n+1)^{n-2} n^{n-3}.$$