Transformación de funciones exponenciales

Question

Me encontré con la siguiente transformación de funciones: $$ \sum_{j=-\infty}^{\infty} e^{(-j^2\cdot t)} = \sqrt{\frac{\pi}{t}} \cdot \sum_{j=-\infty}^{\infty} e^{(-\frac{\pi^2}{t}\cdot j^2)} $$

donde $ j \in \mathbb{Z}$ (es decir, números enteros).

¿Puede alguien ayudarme a entender por qué es cierta esta relación? Gracias.

Answer 1

Esta es la ecuación funcional de la función theta. Una buena prueba (utilizando la suma de Poisson) se puede encontrar aquí.