Limita la pregunta ayúdame por favor?

Question

Tengo que encontrar el límite de lo siguiente:

$$\lim_{x\to\infty}{\frac{(x+1)(x^2+2)...(x^n+n)}{[(nx)^n+1]^{\frac{n+1}{2}}}}$$

He intentado hallar el logaritmo del lado superior y del lado inferior pero no ha funcionado..¿qué hago?

Answer 1

Si elevas al cuadrado la expresión (llámala $a(x))$ obtienes $$ a(x)^2=\frac{(x+1)^2(x^2+2)^2\cdot ...\cdot(x^n+n)^2}{(n^nx^n+1)^{n+1}}=\frac{x^{n(n+1)}+\ldots +n!^2}{n^{n(n+1)}x^{n(n+1)}+\ldots + 1} $$ $a(x)^2$ es una fracción de dos polinomios en $x$ por lo que sólo tenemos que fijarnos en los coeficientes principales para concluir que el límite de $a(x)^2$ es $n^{-n(n+1)}$ . Por tanto, el límite de $a(x)$ es $n^{-n(n+1)/2}$ .

Answer 2

Compara la mayor potencia de cada bando. La respuesta es $0$ .

Answer 3

Sugerencia: Piense en $$\lim_{x\to +\infty}\frac{x^{1+2+3+...+n}}{(nx)^{\frac{n(n+1)}{2}}}$$