Si $\theta_t=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial{r}}(r\theta_r)$ demuestre que $\int_0^{\infty} \theta(r,t)rdr=\int_0^{\infty} \theta(r,0)rdr$ ?

Question

Tenemos $r>0, t>0$ y nos dan las condiciones: $$r\theta_r \to 0 \text{ as } r\to \infty$$ y $$\theta(r,t)\leq K\in \mathbb{R}\text{ as }r\to 0$$

He intentado tomar integrales con respecto a $r$ sobre la PDE. Reordenando la EDP y aplicando la integral:

$\int_0^{\infty}\big(r\theta_t-\frac{\partial}{\partial{r}}(r\theta_r)\big)dr=\int_0^{\infty}r\theta_tdr+\int_0^{\infty}\frac{\partial}{\partial{r}}(r\theta_r)dr=\int_0^{\infty}r\theta_tdr+r\theta_r |_{0}^{\infty}=\int_0^{\infty}r\theta_t(r,t)dr=0 $

¿Es correcto? ¿A partir de aquí no veo cómo proceder para obtener el resultado del título?

Answer 1

Podemos estudiar cómo cambia la integral en el tiempo: $$\frac{d}{dt}\int_{(0,\infty)}x\theta (x,t)dx\underbrace{=}_{\textrm{Leibniz}}\int_{(0,\infty)}x\frac{\partial}{\partial t}\theta (x,t)dx= \\ =\int_{(0,\infty)}\bigg[\frac{\partial}{\partial r}\bigg(r\frac{\partial \theta}{\partial r}\bigg)\bigg](x,t)dx=r\frac{\partial \theta}{\partial r}\bigg\vert^\infty_0=0$$ Esto implica que la integral nunca cambia. Por lo tanto $$\int_{(0,\infty)}x\theta (x,0)dx=\int_{(0,\infty)}x\theta (x,t)dx \ \ \ \forall t \geq 0$$

Answer 2

$$\begin{align} \phantom{=}&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_0^\infty\theta r\,\mathrm{d}r\\ =&\int_0^\infty\partial_t\left[r\theta\right]\,\mathrm{d}r\\ =&\int_0^\infty r\theta_t\,\mathrm{d}r\\ =&\int_0^\infty\partial_r\left[r\theta_r\right]\,\mathrm{d}r\\ =&{\large{\left.r\theta_r\right|_{r=0}^\infty}}\\ =&0 \end{align}$$ Esto nos dice que el $\int_0^\infty r\theta\,\mathrm{d}r$ es independiente de $t$ por lo que es un hecho que: $$\int_0^\infty r\theta(r,t)\,\mathrm{d}r=\int_0^\infty r\theta(r,0)\,\mathrm{d}r\qquad\forall t\in\mathbb{R}^{+}_0$$

Answer 3

De forma más general, para su futuro trabajo con la ecuación del calor en un dominio fijo $\Omega$ con $\partial u/\partial n = 0$ en $\partial \Omega$ el teorema de la divergencia proporciona ayuda: \begin{align} \frac{d}{dt}\int_\Omega\, u(x, t)\, dx &= \int_\Omega u_t(x, t)\, dx \\ &= \int_\Omega\, \Delta u (x, t)\, dx \\ &= \int_{\partial\Omega}\, \frac{\partial u}{\partial n}(x, t)\, dS(x) \\ &= 0. \end{align}