Ayuda con PDE $xu_x+yu_y=2u$

Question

PDE tiene este aspecto: $$xu_x+yu_y=2u$$ $$u(x,1)=x^2$$ $u$ es una función de dos variables $u(x,y)$ Soy nuevo en esta parte de las matemáticas, así que necesito ayuda.
Mi primera idea es utilizar el transporte PDE $u_t+cu_x=0$
(poco cambio o variable $t$ con $y$ ) pero los coeficientes con $u_x$ no es constante, así que tengo otro problema.

Answer 1

Sugerencia :

1. Oversve que se trata de una ecuación de la forma $a(x,y,u)u_x+b(x,y,u)u_y=f(x,y,u)$

2. La solución a esta ecuación se puede encontrar comparando los siguientes ratios:

$$\frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}=\frac{du}{2u}$$

3. Encontrar dos soluciones linealmente independientes $h(x,y,u)=c_1$ y $g(x,y,u)=c_2$ La solución general de la ecuación dada viene dada por $c_2=F(c_1)$

4. A continuación, utilice la condición inicial para obtener la solución final.

Answer 2

El lado izquierdo $x u_x + y u_y$ es una derivada direccional en la dirección $(x,y)$ es decir, la dirección radial, lo que sugiere que el problema será más fácil si se expresa en coordenadas polares.

Answer 3

Si te quedas mirando esto el tiempo suficiente, verás que $u = x^2$ es una solución.

(O puedes utilizar el método de las características...)

Answer 4

Por casualidad es la condición inicial $u(x,0) = x^2$ ? Esto se debe a: \begin{align} \frac{du}{2 \, u} &= \frac{d(x + y)}{x+y} \\ \ln u &= 2 \, \ln(x + y) + \ln(c_{0}) \\ u(x,y) &= c_{0} \, (x+y)^{2}. \end{align}

Compruébalo: \begin{align} x \, u_{x} + y \, u_{y} &= x \, 2 c_{0} (x+y) + y \, c_{0} (x+y) \\ &= 2 \, c_{0} (x+y)^{2} \\ &= 2 u. \end{align}

Si $u(x,0) = x^2$ entonces la solución es tal cual. Si $u(x,1) = x^2$ entonces hay un problema potencial.