G es un grupo abeliano. Demuestra $G^{(n)}$ es un subgrupo de G

Question

Sea G un grupo abeliano. Demuéstrese que

$$G^{(n)} = \{g \in G | g^n = 1_G \}$$

es un subgrupo de G.

¿Cómo lo hago?

Entiendo que $G^{(n)}$ es básicamente el conjunto de todos los elementos cuyo orden divide a n. Entonces, ¿simplemente tendría que demostrar que los axiomas de grupo se cumplen para $G^{(n)}$ ¿y esto demostraría que es un subgrupo para G?

Ya tengo el elemento identidad en n = 0. Además, el inverso sería cualquiera $n < 0$ . ¿Ahora sólo tengo que demostrar la asociatividad? ¿Cómo lo hago?

¿Es esto cuando $g^{(n)^{(m)}} = g^{(m)^{(n)}}$ ? ¿Cómo podría demostrarlo?

Answer 1

Para demostrar que $H$ es un subgrupo de $G$ sólo tiene que demostrar que

1. $1_G \in H$ ,
2. Si $g, h \in H$ entonces $gh \in H$ y
3. Si $g \in H$ entonces $g^{-1} \in H$ .

Algunas personas prefieren combinar 2 y 3 y simplemente probar

• Si $g, h \in H$ entonces $gh^{-1} \in H$ .

Puedes utilizar la forma que te resulte más fácil. Voy a probar las 3 cosas para el caso $H = G^{(n)}$ .

1. $1_G \in G^{(n)}$ porque $1_G^n = 1_G$ .
2. Si $g, h \in G^{(n)}$ entonces $(gh)^n = g^n h^n = 1_G 1_G = 1_G$ Así que $gh \in G^{(n)}$ .
3. Si $g \in G^{(n)}$ entonces $(g^{-1})^n = (g^n)^{-1} = 1_G^{-1} = 1_G$ Así que $g^{-1} \in G^{(n)}$ .

Por lo tanto, $G^{(n)}$ es un subgrupo de $G$ . Obsérvese que hemos utilizado el hecho de que $G$ es abeliano en la prueba de 2.

Answer 2

$G^{(n)}$ es un subconjunto de $G$ es decir, sus elementos son elementos de $G$ por lo que la asociatividad se cumple automáticamente. La identidad $1_G$ está en $G^{(n)}$ porque $1_G^n=1_G$ y si $g \in G^{(n)}$ Eso es, $g^n = 1_G$ entonces $(g^{-1})^n = (g^n)^{-1} = 1_G^{-1} = 1_G$ de modo que $g^{-1}$ también está en $G^{(n)}$ . Por último, tenemos que demostrar $G^{(n)}$ es cerrado por composición. Ahora bien, si $g,h \in G^{(n)}$ entonces $(gh)^n = g^nh^n = 1_G$ donde la primera igualdad proviene de la suposición de que $G$ es abeliano, y la segunda proviene de la suposición $g,h \in G^{(n)}$ . Por lo tanto, todos los requisitos para $G^{(n)}$ sea un subgrupo de $G$ se cumplen.

Answer 3

Otra forma de hacerlo:

$G$ es un grupo abeliano. ¿Qué podemos decir del mapa $f: G \rightarrow G$ definido por $f(g)=g^n$ ? ¿Cuál sería el núcleo de este mapa?