$\Omega_{B/A}=0$ sólo si $\Omega_{\overline{B}/k}=0$ donde $\overline{B}=B\otimes_A k$ .

Question

Sea $A$ sea un anillo local con campo residuo $k$ . Sea $B$ ser un $A$ -tal que $B$ está finitamente generada como $A$ -módulo. Sea $\overline{B}:=B \otimes_A k$ . Demostrar que $\overline{B}$ es distinto de cero y que $\Omega_{B/A}=0$ sólo si $\Omega_{\overline{B}/k}=0$ .

El hecho de que $\overline{B}$ es distinto de cero es cierto porque es un álgebra Artiniana, por lo tanto es producto de anillos locales de Artin que son distintos de cero. Yo usaría el Lemma de Nakayama para demostrar esa equivalencia, pero no sé cómo hacerlo.

Gracias a todos.

Answer 1

El cambio de base para los diferenciales de Kahler te dice que $$\Omega_{(B\otimes_A k)/k}\cong k \otimes_A \Omega_{B/A}.$$ Por lo que se entiende $\Omega_{B/A}=0\implies \Omega_{\overline{B}/A}=0.$

Para la inversa debe utilizar El lema de Nakayama en este espíritu . Desde $B$ está finitamente generada $A$ -entonces $\Omega_{B/A}$ está finitamente generada $A$ -también. Por lo tanto, a partir de la fórmula anterior y el lema de Nakayam se obtiene la implicación inversa.