Existe una secuencia de funciones $\{f_{n}\}$ converge a $0$ tal que $\{a_{n}f_{n}\}$ no converge a $0$

Question

Sea $X$ sea el espacio vectorial de todas las funciones complejas en el intervalo unitario $[0,1]$ topologizado por la familia de los seminormales $$p_{x}(f) = |f(x)|, \quad (0 \le x \le 1).$$ Demuestre que existe una secuencia de funciones $\{f_{n}\}$ en $X$ convergiendo hacia $0$ tal que $\{a_{n}\,f_{n}\}$ no converge a $0$ para todas las secuencias de escalares $\{a_{n}\}$ convergiendo hacia $\infty$ .

Hola a todos. Este problema apoya el punto de que la metrizabilidad es necesaria para $X$ para que este teorema sea cierto:

Si una secuencia de funciones $\{f_{n}\}$ en un espacio vectorial topológico metrizable $X$ converge a $0$ entonces existe una secuencia escalar $\{a_{n}\}$ convergiendo hacia $\infty$ tal que $\{a_{n}\,f_{n}\}$ converge a $0$ .

Pero no tengo ni idea de como encontrar esa secuencia como la anterior. Además, topologizar un espacio vectorial por familia de seminormas me confunde mucho. Así que espero que alguien me pueda ayudar. Gracias.

Answer 1

Tengo una idea, espero que puedas llenar los huecos que dejo.

Sea $\mathcal{A}=\{\mathbf{a}=(a_n)\mid a_n\in\mathbb{N}_+, a_n\to\infty \text{ and } a_n\le a_{n+1}\}$ y definir una biyección entre $[0,1]$ y $\mathcal{A}$ y denotan la sucesión de $x\in[0,1]$ por $\mathbf{a}(x)$ . Para cada $n$ definir una función $f_n$ tal que $f_n(x)>1/a_n(x)$ y tomar las funciones tales que $f_n\ge f_{n+1}>0$ entonces $\{f_n\}$ convergen a una función continua y tratar de ordenarlos, de modo que converjan a cero en los números racionales (y así en todos los de $[0,1]$ ), por lo que $f_n\to 0$ en la topología de $X$ .

Por cada $\gamma_n\to\infty$ puede elegir un $x$ tal que tenemos $\{\gamma_nf_n(x)\}$ no converge a cero y hemos terminado.

Espero que la idea no sea demasiado mala.