Si $A$ es asimétrico, entonces $I-A$ es invertible y $Q = (I-A)^{-1}(I+A)$ es ortogonal

Question

Demostrar que si $A^T = -A$ es cualquier matriz asimétrica, entonces $Q = (I-A)^{-1}(I+A)$ es una matriz ortogonal. ¿Puedes demostrar que $(I - A)$ es ¿es siempre invertible?

¿Cómo puedo demostrarlo? ¿Es similar a demostrar que $\det(Q) = \pm 1$ o que $A^T = A^{-1}$ ?

Answer 1

Um. No, no determinante. Valores propios individuales. El producto punto ordinario de dos vectores columna $v,w$ viene dado por el producto matricial $v^T w = w^T v$ porque la transposición de una matriz de 1 por 1 es ella misma. Supongamos que $A$ tiene un valor propio real $\lambda,$ con un vector propio $v.$ Tenemos $Av = \lambda v,$ y $$ \lambda v^T v = v^T (\lambda v) = v^T (Av) = (Av)^T v = v^T A^T v = -v^T A v = - \lambda v^T v. $$ Ahora $v \neq 0,$ así que $v^T v \neq 0.$ Así $$ \lambda v^T v = - \lambda v^T v $$ significa $\lambda = 0.$

Por lo tanto, el único valor propio real posible es $0.$ En particular, $1$ nunca es un valor propio, siempre tenemos $Av \neq v,$ y $(I-A)v \neq 0.$ Dicho de forma más sencilla, $0$ no es un valor propio de $(I-A),$ que, por tanto, es no singular.

Answer 2

Supongo que $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ .

Desde $A$ es real asimétrico sabemos que $\det(I+A)\neq 0$ (también se sabe que en el caso de matrices reales asimétricas $det(A)\geq0$ ).

Así que.., $\det(I-A)=\det(I+A^{T})=\det((I+A)^{T})=\det(I+A)\neq0$ .