El principio de equivalencia débil afirma que, para parcelas infinitesimales de espacio y tiempo, las leyes de la naturaleza son idénticas a las de la relatividad especial. Esto se refleja matemáticamente en la existencia de coordenadas normales de Riemann en cada punto de la variedad. Las geodésicas son líneas rectas en estas coordenadas, como era de esperar, ya que se espera que las partículas se muevan en líneas rectas en la relatividad especial. Sin embargo, no entiendo del todo la relación entre estas coordenadas y los marcos inerciales.
Consideremos el caso de una partícula que se mueve a lo largo de una geodésica; podemos construir coordenadas normales en cada punto de su trayectoria. Sin embargo, dependiendo de cómo defina mi base de tétradas, las coordenadas de cada uno de los puntos cercanos a la partícula serán diferentes. Me parece que hay una orientación especial de la base tétrada que podemos elegir. Podemos definir el vector base "tiempo" tangente a la trayectoria de la partícula y los demás vectores "espacio" ortogonales a este vector. Entonces, a medida que la partícula se desplaza a lo largo de su trayectoria en un tiempo infinitesimal, la magnitud de las coordenadas "espaciales" no variará, cambiando únicamente la coordenada "temporal". Este es un marco inercial en el que las geodésicas son líneas rectas y la partícula no se mueve en su propio marco de referencia (al menos durante un tiempo infinitesimal antes de que cambiemos a un conjunto diferente de coordenadas normales adaptadas a un punto diferente). ¿Es esto lo que entendemos por marco inercial? Si es así, ¿cuál es la interpretación de las coordenadas normales que pueden construirse de forma que la base "tiempo" no sea tangente a la trayectoria de la partícula, y en la que todas las componentes cambien a medida que la partícula se mueve?
Ahora, por otro lado, digamos que una partícula se mueve a lo largo de una curva en el colector con una aceleración cuatro distinta de cero. En cada punto temporal de su trayectoria, todavía es posible construir coordenadas normales en la posición de la partícula. Si seguimos el mismo procedimiento que antes y definimos el vector "tiempo" como tangente a la trayectoria de la partícula en un punto p, la geodésica a lo largo de esa tangente que parte de p aparecerá parametrizada por coordenadas dadas por: $(t,0,0,0)$ (donde t es el parámetro). Sin embargo, dado que la partícula no se mueve a lo largo de una geodésica, su posición no puede parametrizarse simplemente mediante $(t,0,0,0)$ y también debe haber un cambio de posición. Esto significa que no hay coordenadas normales en las que una partícula en aceleración pueda ver geodésicas como líneas rectas y simultáneamente estar en "reposo" (en las coordenadas normales). ¿Es esto un reflejo del hecho de que los observadores que aceleran no pueden estar en marcos de referencia inerciales? En ese caso, ¿puede considerarse el marco que hemos construido un marco de referencia de co-movimiento?
No estoy seguro de si esta es la forma correcta de pensar en coordenadas normales, así que cualquier ayuda es apreciada.
