Demuestra que $q$ es una unidad en $H(R)$ si $N(q)$ es una unidad en $R$

Question

Problema: Consideremos los cuaterniones sobre un anillo conmutativo general $R$ en lugar de $\Bbb R$ , digamos $H(R)$ .

Quiero demostrar que $q \in H(R)$ es una unidad si $N(q)$ es una unidad en $R$ . Si $q=a+bi+cj+dk$ entonces $N(q) = a^2+b^2+c^2+d^2$ . Sea $q^*$ sea el conjugado de $q$ , alias $q^* = a -bi -cj -dk$ .

Inténtelo

Si $N(q)$ es invertible en $R$ entonces $\frac {q^*} {qq^*} = \frac {q^*} {N(q)}$ es un inverso de $q$ de modo que $q$ es una unidad.

La otra dirección me está dando problemas. Si $q$ es invertible, ¿es necesariamente cierto que su inversa debe ser de la forma $\frac {q^*} {N(q)}$ ?

Answer 1

La cuestión es que $N$ es multiplicativa: $N(qq')=N(q)N(q')$ . Si $q$ es invertible, digamos $qq'=1$ entonces $N(q)N(q')=N(1)=1$ y así $N(q)$ es una unidad.

Entonces $N(q)=qq^*=q^*q$ y así $q(q^*/N(q))=(q^*/N(q))q=1$ etc.