Encontrar una parametrización de un semicírculo en $\Bbb R^3$

Question

Sea $B$ sea una esfera con centro $(0,0,0)$ y radio $a$ . Sea $C_1$ sea la trayectoria sobre el semicírculo de $B$ de $(a,0,0)$ a $(-a,0,0)$ y por el punto $(0, \frac{a}{\sqrt2},\frac{a}{\sqrt2})$ . Sea $C_2$ sea el camino que va en línea recta desde $(-a,0,0)$ a $(a,0,0)$ . Sea $C=C_1 \cup C_2$ .

¿Cómo puedo parametrizar $C$ ? Tengo problemas porque no está en un $xy$ o $xz$ o $zy$ avión.

He encontrado la parametrización de $C_2$ , sólo tengo problemas con $C_1$ .

Answer 1

Parametrizaremos $C_1$ considerando el "producto" de dos trayectorias. Sea $\alpha_1$ denotan la trayectoria lineal desde $(a,0,0)$ a $(0,\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{a}{\sqrt{2}})$ y $\alpha_2$ denotan la trayectoria lineal desde $(0,\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{a}{\sqrt{2}})$ a $(-a,0,0)$ . Listo, $$\gamma_1(t)= \frac{\alpha_1(t)}{||\alpha_1(t)||} \ \ \ \ \ \text{and} \ \ \ \ \ \gamma_2(t)= \frac{\alpha_2(t)}{||\alpha_2(t)||} \ \ \ \ \forall \ t\in [0,1] $$ A continuación, establezca $\gamma=\gamma_1*\gamma_2$ .

Answer 2

Si hallamos el plano que contiene a estos tres puntos, tiene la ecuación $$y=z$$

Por tanto, la parametrización de $C_1$ será como el siguiente: $$\begin{cases}x=a \cos t\\ y=a\frac{\sin t}{\sqrt 2}\\z=a\frac{\sin t}{\sqrt 2}\end{cases}$$ para $t\in [0, \pi]$