La perturbación truco en la prueba de Seifert-van-Kampen

Question

El teorema de Seifert-Van-Kampen unidos de que el grupo fundamental de $\pi_1$ desplazamientos con ciertas colimits. Hay una hermosa y conceptual de la prueba en Pedro de Mayo, "Un breve Curso de Topología Algebraica", indica el Teorema de primera para groupoids y, a continuación, da un argumento formal de cómo deducir el resultado de $\pi_1$. Sin embargo, no tenemos la suposición de que nuestro espacio está cubierto por la ruta de acceso conectado a abrir subconjuntos, cuyas intersecciones finitas de ruta-conectado de nuevo. Esta suposición puede ser debilitada con un poco de "perturbación" truco que se explica en la prueba dada por Hatcher en su libro "Topología Algebraica". Después de hacer esto, sólo tenemos que triplicar las intersecciones de ruta conectado (y no podemos hacer mejor).

Pregunta 1. Es posible "conceptualizar" la perturbación truco, debilitando así a la hipótesis sobre finito intersecciones? Tal vez esto es respondida por uno de los puros categórica pruebas de Seifert-van-Kampen?

Pregunta 2. En la práctica (explícita cálculos fundamentales de los grupos), ¿tenemos realmente a menudo la necesidad o el uso que este debilitamiento de la suposición de que es posible?

Answer 1

Pregunta 1: Una de las maneras más fáciles de ver esto 3 veces intersección condición es en términos de "ladrillo subdivisiones" de la plaza. Esta es una subdivisión de la plaza en rectángulos tal que cada vértice de la subdivisión se encuentra en una esquina de 3 rectángulos. Tal subdivisión puede ser tomado lo suficientemente fina para llevar a cabo el argumento dado en Hatcher del libro. Más detalles se encuentran en la

R. Brown y A. Razak Salleh, `Un teorema de van Kampen de los sindicatos de no-espacios conectados", Archiv. De matemáticas. 42 (1984) 85-88.

que se refiere este argumento a la Lebesgue cubriendo dimensión. También mediante el uso de la fundamental groupoid $\pi_1(X,A)$ en $Una$ de los puntos de base, se da un teorema para la unión de los no-espacios conectados.

Yo también prefiero el argumento en términos de "verificación de la universal de los bienes", en lugar de buscar relaciones de definir el núcleo de una de morfismos. Para ver esta prueba en el caso de la unión de 2 conjuntos, ver

http://www.bangor.ac.uk/r.brown/pdffiles/vKT-proof.pdf

Uno de los problemas en la prueba para el grupo fundamental dado por que no generalizar a dimensiones superiores.

Pregunta 2: Uno se tiene que preguntar: ¿dónde estas uniones de los no-espacios conectados surgir? Una respuesta es en las aplicaciones a la teoría de grupos; por ejemplo, el Kurosh subgrupo teorema en subgrupos de productos libres de grupos se puede demostrar mediante el uso de un cubrir el espacio de un punto de unión de los espacios. La cubierta sobre cada espacio de esta unión tiene por lo general muchos componentes. Confieso que no he visto la condición mínima de 3 veces intersección se utiliza en la práctica, pero siempre es interesante saber las condiciones mínimas para un teorema. Tan bien como para saber que uno no puede, en general, conseguir lejos con 2 veces de las intersecciones.

Usted puede ver el uso constante de groupoids en $1$-dimensional homotopy teoría (teorema de van Kampen, cubriendo los espacios, la órbita de espacios) en mi libro "la Topología y groupoids" (2006) disponible en amazon.

Edición Feb 17, 2014:

Puede ser útil señalar que un mayor resultado de que en Mayo el libro fue publicado en 1984 en el sobre Marrón-Razak Salleh de papel; la idea de probar un pushout resultado para el total fundamental groupoid, y cediendo a $\pi_1(X,A)$, es en mi 1967 papel, y el libro posterior, pero Pedro hábilmente hace que trabaja para infinito cubre; el problema es que esta prueba no generalizar a dimensiones superiores, por lo que puedo ver.

También Munkres' libro sobre la "Topología" usos no camino espacios conectados en el trato con el Jordan de la Curva de Teorema, y para ello se utiliza cubrir el espacio en lugar de groupoid argumentos. No veo por qué los libros evitar $\pi_1(X,A)$, ya que apenas requiere cualquier extra en las pruebas a que por $\pi_1(X,a)$, dada la fácil definición.

Edición de 20 de Febrero, 2015: Una pregunta pertinente y la respuesta es http://mathoverflow.net/questions/40945/compelling-evidence-that-two-basepoints-are-better-than-one

Algunos de la relevancia para la historia de la topología algebraica, y a su evolución, es en esta presentación en Galway, diciembre de 2014.

5 de marzo de 2015

Yo siento que este "perturbación (o deformación) truco" es el de una naturaleza fundamental. Arriba hay una foto de la parte de una deformación que participan en la prueba de la 2-dimensional de Seifert-van Kampen tipo de teorema, para el cruzado módulo implican un triple $(X,a,C)$ de espacios donde $C$ es un conjunto de puntos de base, y $C \subseteq \subseteq X$.

Los puntos rojos indican los puntos de $C$. Las líneas azules indican las rutas de la mentira en $Un$. Los pequeños cuadrados en la parte inferior se supone que denotan plazas acostado en un conjunto $U$ de una apertura de la tapa. Por hacer de la conectividad de los supuestos puede deformar un pequeño fondo cuadrado en la parte superior de la clase correcta, y aún yacía en el mismo conjunto abierto. Así, trabajando con una doble groupoid construcción $\rho_2(X,a,C)$ cuyas composiciones son más de 2 direccional de la habitual relación homotopy grupos, se puede ir con la prueba de una característica universal que involucra doble groupoids, y por lo tanto para cruzó los módulos.