Si se dejan caer 10 agujas al suelo, ¿cuántas agujas se espera que crucen una línea?

Question

Si se dejan caer 10 agujas al suelo, ¿cuántas agujas se espera que crucen una de las líneas?

Se trata de una variación del problema de la aguja Buffon (aguja corta). Creo que la probabilidad de que caiga una aguja singular es $\frac{2L}{\pi}$ donde L es la longitud de la aguja. ¿Simplemente lo multiplico por 10? No sé muy bien qué hacer.

Answer 1

Si se conoce la probabilidad de que una aguja cruce una línea como $p$ (formando así una variable aleatoria indicadora), basta con multiplicarla por $10$ para obtener el resultado. Esto es linealidad de expectativas y funciona incluso si las variables no son independientes.

Answer 2

En este caso, es preferible utilizar el valor esperado. Así que..,

$$\sum_{s \in S} X(s) \cdot p(s)$$

$X(s)$ es la "variable aleatoria" de la aguja, y entonces $p(s)$ es la probabilidad. $s \in S$ está diciendo que el $s$ es un elemento de nuestro espacio muestral ( $S$ ).