¿Cuándo una conexión de Galois induce una topología?

Question

Sea $(X,\leq)$ y $(Y,\leq)$ por conjuntos parcialmente ordenados. Recordemos que a(n antitono) Conexión de Galois entre $X$ y $Y$ es un par de mapas de orden inverso

$\Phi: X \rightarrow Y, \ \Psi: Y \rightarrow X$

tal que para todo $x \in X,\ y \in Y$ , $x \leq \Psi(y) \iff \Phi(x) \geq y$ .

En esta situación, el compuesto $\Psi \circ \Phi$ (resp. $\Phi \circ \Psi$ ) es una operador de cierre $\operatorname{cl}$ en $X$ (resp. $Y$ ): es decir,

(C1) Para todo $x \in X$ , $x \leq \operatorname{cl}(x)$ .
(C2) Para todo $x_1,x_2 \in X$ , $x_1 \leq x_2 \implies \operatorname{cl}(x_1) \leq \operatorname{cl}(x_2)$ .
(C3) Para todo $x \in X$ , $\operatorname{cl}(\operatorname{cl}(x)) = \operatorname{cl}(x)$ .

Consideremos el caso especial en el que $X$ es el conjunto de potencias de algún conjunto $\mathbb{X}$ ordenados parcialmente por inclusión. Para que el operador de cierre anterior defina una topología sobre $\mathbb{X}$ -- es decir, ser un "operador de cierre Kuratowski" -- necesitamos también

(C4) Para todo $x,y \in X$ , $\operatorname{cl}(x \cup y) = \operatorname{cl}(x) \cup \operatorname{cl}(y)$ .

Es fácil ver que (C4) no es automático para el operador de cierre asociado a una conexión de Galois -- de hecho, todo operador de cierre es inducido por alguna conexión de Galois, y hay muchos operadores de cierre que no satisfacen (C4).

Sin embargo, en la práctica, parece bastante frecuente que al menos uno de los dos operadores de cierre inducidos por una conexión de Galois sea un operador de cierre topológico. Ejemplos:

(1) La topología de Krull sobre el grupo de automorfismos de una extensión infinita de Galois (procedente de la correspondencia habitual de Galois).

(2) Para un campo $K$ la topología de Zariski en $K^n$ (procedente de la conexión de Galois que surge en el Nullstellensatz).

(3) Para un campo $K$ la topología de Harrison en el espectro real de $K$ (procedente de la conexión de Galois inducida por la "relación de incidencia" $x \in P$ para $x$ un elemento de $K$ y $P$ una ordenación en $K$ ).

Pregunta 1: ¿Existe alguna condición abstracta natural sobre la conexión de Galois que se pueda imponer para garantizar que uno de los dos operadores de cierre es un operador de cierre de Kuratowski?

$ $

Pregunta 2: ¿Existen otros ejemplos de topologías que surjan de conexiones de Galois de forma interesante? [Como arriba, cada topología surge de alguna conexión de Galois, aunque de forma tautológica].

Answer 1

Intentaré dar una aproximación desde la Teoría de Categorías. Primero, un conjunto parcialmente ordenado $(X,\leq)$ puede considerarse como una categoría cuyos objetos son los elementos de $X$ y una flecha $x\to x'$ si $x\leq x'$ . Desde este punto de vista, una función preservadora del orden entre conjuntos parcialmente ordenados no es más que un functor entre las respectivas categorías. Su conexión de Galois $\Phi,\Psi$ es un par de functores $\Phi:X\to Y^{op}$ , $\Psi:Y^{op}\to X$ y $\Phi$ es un adjunto a la izquierda de $\Psi$ .

Ahora a los operadores de cierre. Un operador de cierre sobre $T$ en $X$ no es más que una mónada idempotente en la categoría $X$ . El hecho de que cualquier operador de cierre provenga de una conexión de Galois es un caso particular del hecho general de que cualquier mónada sobre una categoría está inducida por una adjunción (normalmente hay varias adjunciones que inducen la misma mónada).

La condición $\operatorname{cl}(x \cup y) = \operatorname{cl}(x) \cup \operatorname{cl}(y)$ está diciendo que su mónada idempotente $\operatorname{cl}$ en $X$ preserva los coproductos binarios. Lo que escribes como unión sería la suma de dos elementos $(x\vee x)$ en su conjunto parcialmente ordenado, que no es más que el coproducto en la categoría correspondiente.

Un hecho estándar sobre adjunciones es que el adjunto izquierdo (en tu caso $\Phi$ ) siempre preserva los colímitos y, en particular, los coproductos. Entonces, una condición que garantiza que $\operatorname{cl}$ conserva se une es exigir $Y^{op}$ y el adjunto derecho $\Phi:Y^{op}\to X$ para preservar los coproductos binarios. $Y^{op}$ tiene coproductos binarios cuando cuando $(Y,\leq)$ tiene encuentros de dos elementos $(y\wedge y')$ y $\Psi$ los conserva cuando $\Psi(y\wedge y')=\Psi(y)\vee\Psi(y')$ .

Espero que esto responda en cierta medida a su pregunta 1.

Answer 2

Todas las conexiones de Galois que conozco que implican un conjunto de potencias surgen de una relación $R : X \times Y \to 2$ como se describe, por ejemplo aquí . Como se observa, esta relación puede utilizarse a menudo para definir un espacio topológico. Sin embargo, siempre se puede utilizar para definir un Espacio Chu que es, en un sentido preciso, una especie de espacio topológico generalizado.

Algunas definiciones. La categoría $\text{Chu}$ de los espacios Chu (en $\text{Set}$ más de $2$ ) tiene como objetos los tripletes $(X, Y, R)$ donde $X, Y$ son conjuntos y $R$ es una función $X \times Y \to 2$ . Un morfismo $(X_1, Y_1, R_1) \to (X_2, Y_2, R_2)$ de los espacios Chu es una adjunción: es decir, es un par de funciones $f_{\ast} : X_1 \to X_2$ y $f^{\ast} : Y_2 \to Y_1$ tal que

$$R_2(f_{\ast}(x_1), y_2) = R_1(x_1, f^{\ast}(y_2)).$$

Muchas categorías conocidas resultan ser completo subcategorías de $\text{Chu}$ .

Por ejemplo. Supongamos que el mapa $Y \ni y \mapsto \{ x : xRy \forall y \in Y \} \in 2^X$ es inyectiva. La subcategoría completa de espacios Chu con esta propiedad puede considerarse como conjuntos junto con una colección distinguida de subconjuntos, donde $R$ es la relación de incidencia "el punto $x \in X$ se encuentra en el subconjunto $S \in Y$ y donde $f^{\ast}$ es siempre la preimagen de $f_{\ast}$ por lo que los morfismos son precisamente mapas de conjuntos tales que la preimagen de un subconjunto distinguido es distinguida.

Subejemplo. En particular, los espacios topológicos son tales espacios Chu, y la noción de morfismo concuerda. Por tanto, $\text{Top}$ es una subcategoría completa de los espacios de Chu.

Este es el sentido preciso en el que los espacios Chu generalizan los espacios topológicos: ser un espacio topológico es una propiedad de un espacio Chu, del mismo modo que ser un grupo abeliano es una propiedad de un grupo.

Subejemplo. Del mismo modo, la categoría $\text{Meas}$ de los espacios medibles es una subcategoría completa de los espacios de Chu.

Ejemplo. Sea $V$ sea un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}_2$ . Entonces el emparejamiento dual $\text{eval} : V \times V^{\ast} \to \mathbb{F}_2$ define un espacio Chu. Esta inclusión es completa.

Ejemplo. Del mismo modo $B$ sea un álgebra booleana con el espacio de Stone $S(B)$ . A continuación, el mapa de evaluación $\text{eval} : B \times S(B) \to 2$ define un espacio Chu. Esta inclusión es completa.

Ejemplo. Sea $P$ sea un poset y sea $2^P$ denota el conjunto de funciones preservadoras del orden $P \to 2$ donde $2 = \{ 0, 1 \}$ y $0 < 1$ . El mapa de evaluación $\text{eval} : P \times 2^P \to 2$ define un espacio Chu. Esta inclusión es completa.

Ejemplo. $\text{Chu}$ está dotada de una involución natural de conmutación $X$ y $Y$ . Aplicando esta involución a cualquiera de los ejemplos anteriores se obtienen otros ejemplos. Cuando se aplica a varias subcategorías de $\text{Chu}$ esta involución reproduce muchas dualidades conocidas. Por ejemplo, cuando se aplica a álgebras booleanas, la involución reproduce la dualidad de Stone.

No he jugado mucho con los espacios Chu, pero mi intuición es que se puede pensar en $X$ como un conjunto de "estados" y $Y$ como un conjunto de "observaciones" que uno puede hacer sobre los estados, con $R$ confirmar si una observación dada es cierta o no en un estado dado. Pero entonces se pueden intercambiar los papeles de los estados y las observaciones.

Answer 3

Algunos comentarios, no relacionados con la otra respuesta, sobre lo que ocurre en el caso de la topología de Zariski. Aquí el axioma extra es

$$V(I(S_1 \cup S_2)) = V(I(S_1)) \cup V(I(S_2))$$

(donde, para fijar la notación, el $S_i$ son subconjuntos de $k^n$ , $I$ envía un subconjunto de $k^n$ al ideal de funciones que desaparecen en él en $k[x_1, ..., x_n]$ y $V$ envía un subconjunto de $k[x_1, ..., x_n]$ a su lugar cero en $k^n$ .) Ahora, tenemos $I(S_1 \cup S_2) = I(S_1) \cap I(S_2)$ por razones abstractas (la contigüidad implica que $V$ y $I$ ambos envían colímites a límites, o equivalentemente supremos a infimos), pero no tenemos $V(T_1 \cap T_2) = V(T_1) \cup V(T_2)$ para subconjuntos arbitrarios $T_1, T_2$ de $k[x_1, ..., x_n]$ por razones bastante tontas, por ejemplo $T_1$ y $T_2$ pueden ser disjuntos pero generar el mismo ideal. Por lo tanto, la condición mencionada en la respuesta de Nacho López no se aplica aquí.

En el mejor de los casos podemos esperar tener $V(T_1 \cap T_2) = V(T_1) \cup V(T_2)$ para $T_1, T_2$ ideales, lo que aún sería suficiente para obtener el axioma adicional, pero tenga en cuenta que este falla cuando $k$ tiene divisores nulos, por ejemplo, si $k = \mathbb{Q}[a, b]/(ab)$ entonces podríamos tomar $T_1 = (ax_1), T_2 = (bx_2)$ y luego $T_1 \cap T_2 = (0)$ tiene lugar cero $k^n$ pero $V(T_1) \cup V(T_2)$ es mucho menor, por ejemplo, no contiene $(1, 1)$ . Eso sugiere fuertemente que no puede ser verdad por razones abstractas: como mínimo tenemos que utilizar en alguna parte el hecho de que $k$ es un dominio integral.

Lo que es cierto por razones abstractas es que $T_1 \cap T_2 \subseteq T_1, T_2$ Por lo tanto $V(T_1), V(T_2) \subseteq V(T_1 \cap T_2)$ Por lo tanto $V(T_1) \cup V(T_2) \subseteq V(T_1 \cap T_2)$ . En particular, obtenemos la inclusión

$$V(I(S_1)) \cup V(I(S_2)) \subseteq V(I(S_1) \cap I(S_2)) = V(I(S_1 \cup S_2))$$

por razones abstractas. Pero para conseguir la otra inclusión necesitamos hacer algo de verdad. Por ejemplo:

Supongamos que $v \in V(I(S_1 \cup S_2))$ Así que $f(v) = 0$ para todos $f \in I(S_1 \cup S_2)$ . En particular $g(v) h(v) = 0$ para todos $g \in I(S_1), h \in I(S_2)$ (ya que $IJ \subseteq I \cap J$ para los ideales). Si $g(v) = 0$ para todos $g \in I(S_1)$ puis $v \in V(I(S_1))$ ; de lo contrario, hay algún $g$ tal que $g(v) \neq 0$ por lo tanto, de $g(v) h(v) = 0$ para todos $h$ deducimos que $h(v) = 0$ para todos $h$ y luego $v \in V(I(S_2))$ .

Así que, en abstracto, esto es lo que hicimos:

• En el ámbito de $V$ y la gama de $I$ restringimos nuestra atención a los ideales.
• Sobre los ideales introducimos una nueva operación, el producto ideal, que satisface $I(S_1) I(S_2) \subseteq I(S_1 \cup S_2)$ .
• Demostramos que $V(IJ) \subseteq V(I) \cup V(J)$ . (Para este paso necesitamos utilizar el hecho de que $k$ es un dominio integral).

Esto es suficiente: una vez cumplidas estas condiciones, tenemos

$$V(I(S_1 \cup S_2)) \subseteq V(I(S_1) I(S_2)) \subseteq V(I(S_1)) \cup V(I(S_2)).$$

Para formalizar este argumento, podemos pensar en el producto ideal como una operación monoidal sobre el conjunto de ideales que lo convierte en una categoría monoidal. El conjunto de subconjuntos de $k^n$ también tiene naturalmente una operación monoidal dada por la unión. La condición sobre $I$ anterior es que $I$ es un lax monoidal con respecto a estas operaciones monoidales, y la condición sobre $V$ anterior es que $V$ es un oplax monoidal con respecto a estas operaciones monoidales. En total, obtenemos lo siguiente:

Sea $F : P \to Q$ y $G : Q \to P$ sea una conexión antitónica de Galois entre posets $P, Q$ . Supongamos además que $P$ tiene coproductos finitos y que $Q$ está dotada de una operación monoidal $\otimes$ con respecto a la cual $F$ es laxa monoidal (donde $P$ está dotado del coproducto) y $G$ es oplax monoidal. Entonces el operador de cierre $GF$ en $P$ preserva los coproductos binarios.

Pero esto es algo insatisfactorio.

Answer 4

Posiblemente valga la pena añadir que la red de conjuntos cerrados construida a partir de una polaridad (una conexión de Galois contravariante sobre conjuntos de potencias) es siempre completa. Eso implicaría que la topología producida, cuando se produce una topología, es cerrada bajo uniones arbitrarias, y por tanto una topología de Alexandroff. El orden de especialización puede entonces utilizarse para formar la polaridad.

Answer 5

Las conexiones de Galois en particular son adjunciones $F\dashv G$ entre posets, y como todas las adjunciones satisfacen las identidades triangulares $FGF\backsimeq F$ y $GFG\backsimeq G$ .

Conexiones Lagois de Melton, Schroder y Strecker adoptan esta definición.

Cabría sospechar que tienen propiedades similares a las conexiones de Galois -y así es-, pero no son idénticas a ellas.

Como ellos, también tienen operadores de cierre e interior:

Observan que cualquier espacio topológico $X$ da una Conexión Lagois cuya operación de cierre es $X-\overline{A}$ y la operación interior es $\overline{X-A}$ .

No lo he comprobado, pero supongo que a la inversa es posible.