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¿Existe una función cuya derivada sea |x| ?

¿Existe una función y=f(x) tal que dfdx|x=a=|a| para todos aR ? Estoy en un debate con mi amigo al respecto y estamos atascados

14voto

littleO Puntos 12894

Sea f(x)=x0|s|ds . Por el teorema fundamental del cálculo f(x)=|x| .

3voto

Akiva Weinberger Puntos 7698

Creo que |x|x2=sgn(x)x22 funciona. (Es decir x22 cuando x0 y x22 cuando x0 .)

Pruebas: Cuando a es positivo, tenemos |x|x2|x=a=a22 y la derivada es a=|a| .

En a es negativo, tenemos |x|x2|x=a=a22 y la derivada es a=|a| .

En a es 0 , lim .

1voto

Paul Magnussen Puntos 118

Necesitas tener una pendiente positiva en todas partes, así que f(x)=\frac12 x^2 es insuficiente. En ninguna parte dice que la función no pueda estar compuesta de múltiples piezas. Por lo tanto, \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} \frac12 x^2 \qquad \text{for } x \geq 0, \\ -\frac12 x^2 \qquad \text{for } x<0. \end{cases} \end{equation*}

f(x) es continua y diferenciable, ya que |-0| = |0| .

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