Considere la función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ , $$\tag{1} f(x)=\boldsymbol{1}_{(-9,3]}-2\cdot\boldsymbol{1}_{[11,\infty)} $$ Quiero saber si la función pertenece al espacio de funciones $\mathcal{L}^{\infty}(\mu)$ avec $\mu$ siendo la medida de Lebesgue. Mi libro de conferencias define este espacio de funciones como $$\tag{2} \mathcal{L}^{\infty}(\mu):=\{u: X \rightarrow \mathbb{R}: u \in \mathcal{M}(\mathscr{A}), \exists c>0, \mu\{|u| \geqslant c\}=0\} $$ En una respuesta posterior, se afirmaba que $\{|u| \geqslant c\}=\{x\in\mathbb{R}:u(x)\ge c\}$ . Si elegimos $c>2$ entonces $\{|u| \geqslant c\}=\emptyset$ y $\mu\{|u| \geqslant c\}=0$ lo que implica que $f$ pertenece a $\mathcal{L}^{\infty}(\mu)$ . Sin embargo, mis notas de clase definen el espacio de funciones $\mathcal{L}^{1}(\mu)$ como $$\tag{3} \mathcal{L}^{1}(\mu):=\left\{f \in \mathcal{M} \mid \text { both } \int_{X} f^{+} d \mu <+\infty \text { and } \int_{X} f^{-} d \mu <+\infty\right\} $$ donde hemos escrito la función como $f=f^+-f^-$ . Consideremos entonces la medida delta de Dirac concentrada en 12. Seguimos teniendo $\delta_{12}\{|f|\ge c\}=0$ por lo que a partir de la definición $(2)$ la función debe pertenecer $\mathcal{L}^{\infty}(\delta_{12})$ . Pero integrar $\boldsymbol{1}_{(-9,3]}$ y $2\cdot\boldsymbol{1}_{[11,\infty)}$ con respecto a $\delta_{12}$ da $0$ y $2$ por lo que según la definición de la ec. $(3)$ la función también pertenece a $\mathcal{L}^{1}(\delta_{12})$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Debe interpretar con palabras que $L^\infty$ es el conjunto de todas las funciones cuyo valor absoluto está acotado para todo $x$ excepto quizás para un conjunto de medida cero. Por ejemplo, llamaríamos a la función extendida de valor real $f(x)\begin{cases} 1\,,x\in\Bbb{R\setminus N}\\ \infty\,,x\in\Bbb{N}\end{cases}$ como $L^\infty$ función. Se pueden construir muchos ejemplos de este tipo en los que f no está acotada en su conjunto, pero sí lo está para un conjunto de medida cero.
$\{|u|\geq c\}=\{x\in\Bbb{R}:u(x)\geq c\} $ .
Entonces, ¿existe tal $x$ tal que $|u(x)|\geq 4$ ?
Si no es así, ¿qué se puede decir de la medida del conjunto? $\{|u|\geq 4\}$ ?
Ahora puedes ver por qué pertenece a $L^{\infty}(\mu)$ ?
¿Ahora puedes concluir sobre la combinación lineal finita de funciones indicadoras? .
La medida de Dirac es una medida finita. Para cualquier medida finita $\mu$ tienes $L^{\infty}(\mu)\subset L^{1}(\mu)$ .
Esto es bastante simple de probar .
como $f\in L^{\infty}(\mu)$ existe $0<M<\infty$ tal que $\mu(\{|f|\geq M\})=0$ . Llamar al conjunto $\{x\in X :|f(x)|\geq M\}=A$
Entonces tienes $$\int_{X}|f|\,d\mu = \int_{A}|f|\,d\mu + \int_{X\setminus A} |f|\,d\mu= \int_{X\setminus A} |f|\,d\mu\leq \int_{X\setminus A} M\,d\mu\leq M\cdot \mu(X) <\infty$$ .
Tenga en cuenta que $\int_{A}|f|\,d\mu=0$ como $\mu(A)=0$ y esta es una convención que se sigue. Integral sobre conjuntos de $0$ medida se considera $0$ .
También está definiendo $L^{1}(\mu)$ como el conjunto de funciones para las que las integrales de $f^+$ y $f^-$ existen y son finitos. Bueno, eso es bastante bueno, pero como he dicho, una función es integrable (es decir, integrales de $f^+$ y $f^-$ existe y lo hace finitamente si y sólo si la integral de $|f|=f^{+}+f^{-}$ existe y es finito . Es decir, una función es integrable en el sentido de Lebesgue si y sólo si es absolutamente integrable( $|f|$ es integrable). Esto no es cierto para las integrales de Riemann impropias y de hecho se tiene $\frac{\sin(x)}{x}\mathbf{1}_{(0,\infty)}$ no es integrable en el sentido de Lebesgue mientras que todos sabemos que se trata de la Integral de Dirichlet y su valor es $\frac{\pi}{2}$ .
Nota 2 El resultado $L^{\infty}\subset L^{1}$ es falsa para los espacios de medidas no finitas . Por ejemplo en el caso de la recta real con medida de Lebesgue , la función $1$ es decir $\mathbf{1}_{\Bbb{R}}$ es $L^{\infty}(\lambda)$ como se puede ver claramente, pero no es $L^{1}(\lambda)$ .
En términos más generales $L^{q}(\mu)\subset L^{p}(\mu)$ si $1\leq p\leq q \leq\infty$ si la medida es finita . Una prueba de esto se puede encontrar en cualquier buen libro de teoría de la medida. Véase Royden página 142, por ejemplo.
Y puede encontrar ejemplos fáciles de $L^{1}$ funciones que no son $L^{2}$ . Por ejemplo, en $(0,1)$ tienes $\frac{1}{\sqrt{x}}$ es $L^{1}$ pero no $L^{2}$ .
Le sugiero que estudie $L^{p}$ espacios más e intenta idear tus propios ejemplos y contraejemplos para dar solidez a tu concepto.
Pero estas nociones no tienen por qué ser válidas para medidas infinitas. Existen $L^{2}$ funciones que no son $L^{1}$ por ejemplo $\frac{1}{x}$ en $[1,\infty)$ con medida de Lebesgue es $L^{2}$ pero no $L^{1}$ .
