Consideremos una serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ que es convergente para todo real x, definiendo así una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ . ¿Se pueden dar criterios necesarios y suficientes la secuencia de los coeficientes $(a_n)$ tiene que cumplir para que $f$ para estar limitado en $\mathbb{R}$ ? (Ignoremos el caso trivial de que $a_0$ es el único coeficiente distinto de cero y llamemos "función acotada" a una sucesión si la serie de potencias está acotada). Los criterios de acotación parecen mucho más difíciles de obtener que los criterios habituales de convergencia de una serie de potencias, aquí algunas observaciones:
a) Una condición necesaria para $\sum_n a_n x^n$ es que hay infinitos coeficientes distintos de cero que cambian de signo infinitas veces.
b) La acotación de $f$ es una propiedad "inestable" de la secuencia de coeficientes: cualquier cambio distinto de cero en cualquier subconjunto finito (excepto $a_0$ ) destruirá la acotación. Así, el subespacio lineal de todas las secuencias limitadas por funciones es más bien "disperso" en el espacio vectorial de todas las secuencias que representan series de potencias convergentes.
c) Por otra parte, el subespacio lineal de todas las secuencias limitadas por funciones contiene al menos todas las series de potencias de funciones que pueden escribirse como $\cos \circ h$ avec $h$ una función entera, real-analítica, y el tramo algebraico de estas funciones. Se podría conjeturar que este espacio es ya el espacio de todas las funciones acotadas que pueden representarse como series de potencias [EDIT: parece refutado, cf. comentario más abajo]. Y tal vez esto podría ser un punto de partida para deducir los criterios.
EDIT (conjetura añadida): ¿Es cierto, que cada serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ que es convergente para todo real $x$ sólo puede modificarse cambiando los signos de los términos a una serie de potencias convergente $\sum_{n=0}^{\infty} \epsilon_n a_n x^n, \quad \epsilon_n \in \{\pm1\}$ que está acotado para todo real $x$ ?
Ejemplo: Se pueden modificar los signos de la serie de potencias de la función exponencial $\sum_{n=0}^{\infty} x^n/n!$ bastante fácilmente a una serie de potencias acotada por $\epsilon_n = +1$ para $n = 0 or 1 \mod 4$ y $\epsilon_n = -1$ para $n = 2 or 3 \mod 4$ obteniéndose la función $\sin(x) + \cos(x)$ . (Se pueden modificar fácilmente los signos un poco más, de forma que la serie de potencias no sólo esté acotada en el eje real, sino también en el eje imaginario, pero ésta no es la cuestión aquí). No he conseguido encontrar un contraejemplo ni demostrar esta conjetura.
EDIT2: Gracias por el bonito contraejemplo. Me gustaría mejorar la conjetura de la siguiente manera: Definir una serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ como no dominante, si para todo $x \in \mathbb{R}$ el valor absoluto de cada término $a_kx^k$ es menor o igual que la suma de los valores absolutos de todos los demás términos: $|a_kx^k| \le \sum_{n \neq k} |a_n x^n|$ . La conjetura mejorada es: ¿Es cierto, que toda serie de potencias no dominante $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ que es convergente para todo real $x$ sólo puede modificarse cambiando los signos de los términos a una serie de potencias convergente $\sum_{n=0}^{\infty} \epsilon_n a_n x^n, \quad \epsilon_n \in \{\pm1\}$ que está acotado para todo real $x$ ?
