Preguntas sobre la derivación de la ley de Rayleigh-Jeans

Question

Estoy siguiendo esta derivación de la ley de Rayleigh-Jeans:

https://thecuriousastronomer.wordpress.com/2013/10/28/derivation-of-the-rayleigh-jeans-law-part1/

Hay algunos puntos que no acabo de entender y agradecería que me ayudaran a comprenderlos:

• En la parte 2, se menciona que el campo eléctrico en las paredes debe ser cero, o de lo contrario el campo eléctrico impartiría energía a las paredes de la cavidad y perdería energía ella misma. Pero, ¿por qué es necesario? Pensé que "equilibrio térmico" en esta situación significa que la radiación y la cavidad están a la misma temperatura; así que pensé que la pared estaría continuamente absorbiendo cierta cantidad de radiación, sólo para volver a irradiarla y perder de nuevo la energía ganada.

• Se menciona que la energía de un modo es $kT$ . Este es el resultado de aplicar el teorema de equipartición, que establece que cada grado de libertad tiene una energía $1/2kT$ . Así que aparentemente cada modo tiene dos grados de libertad. ¿Corresponden a dos polarizaciones posibles de la luz? Pero de otras fuentes he averiguado que la catástrofe ultravioleta surge de la idea de que cada modo tiene esta energía $kT$ . Pero, ¿por qué todos los modos tienen esta energía? ¿Significaría esto que los grados de libertad son en realidad los números $n_x$ , $n_y$ , $n_z$ ?

• ¿Y por qué aplicamos el teorema de equipartición a la radiación? Entiendo que para un gas ideal, $1/2kT$ es la energía por grado de libertad, pero ni la radiación ni la cavidad son gases ideales. Ni siquiera veo qué significa que la radiación tenga temperatura $T$ .

Agradecería mucho que me ayudaran a entender esta derivación.

Answer 1

Pensaba que la pared estaría continuamente absorbiendo cierta cantidad de radiación, sólo para volver a irradiarla y perder de nuevo la energía ganada.

Aquí es donde te has confundido. La pared es, por supuesto, un reflector perfecto de la radiación. Por lo tanto, no absorbe ninguna parte de la radiación. No re-radia ninguna radiación después de alguna termalización - esto no tiene lugar. La pared puede estar a una temperatura completamente diferente a la del sistema interior, o no tener temperatura en absoluto. No existe equilibrio térmico entre el sistema interior y la pared. El propósito teórico de las paredes perfectamente reflectantes es sólo contener completamente el sistema incluyendo la radiación para que el sistema pueda alcanzar el equilibrio térmico consigo mismo. Sin estas paredes, el sistema perdería o ganaría energía del entorno a través de la radiación.

Así que aparentemente cada modo tiene dos grados de libertad. ¿Corresponden a dos polarizaciones posibles de la luz?

No, el modo de cavidad cuboide sólo tiene una polarización, pero aún así tiene dos grados de libertad, porque toma tanto el valor del potencial vectorial como también la tasa de su cambio para expresar la contribución a la energía neta de Poynting. Es lo mismo para cualquier oscilador armónico 1D - tiene dos términos cuadráticos en su Hamiltoniano, uno para la posición y otro para la velocidad.

Pero, ¿por qué todos los modos tienen esta energía?

Esto se deduce de la suposición de que la energía EM en el interior viene dada por la fórmula de Poynting

$$ H = \int_V \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2 \,dV. $$

Cuando E,B se expresan utilizando el potencial vectorial A como superposición de oscilaciones de modo, H resulta ser suma de términos cuadráticos. Entonces el segundo paso es asumir que estos obedecen al teorema de equipartición.

¿por qué aplicamos el teorema de equipartición a la radiación? Entiendo que para un gas ideal, es la energía por grado de libertad, pero ni la radiación ni la cavidad son gases ideales.

Desde el punto de vista de la física de principios del siglo XX, esto era algo natural. Las moléculas de gas producen radiación electromagnética e interactúan con ella. Cuando el gas está en equilibrio termodinámico, también lo está con la radiación EM. Por tanto, debería ser posible aplicarle ideas estadísticas similares a las que han tenido tanto éxito con los gases.

Ni siquiera veo lo que significa que la radiación tenga temperatura $T$ La radiación tiene temperatura $T$ cuando se desprende de un cuerpo que está en equilibrio termodinámico y tiene temperatura $T$ .

Tiene usted razón al cuestionar que los resultados de la física estadística clásica, como la equipartición, puedan aplicarse tan directamente a la radiación EM. El fracaso de la fórmula de Rayleigh y Jeans en las altas frecuencias demuestra que su aplicabilidad es realmente limitada.