¿Por qué esta integral doble tiene el valor cero?

Question

¿Por qué la siguiente integral doble tiene el valor cero (no necesita cálculo) $$\iint_Dx^8y^7\,dxdy=0$$ donde $D={x^2+y^2 \le 2, x \ge0}$ .
¿Tiene esto algo que ver con la simetría, impar y funciones pares? ¿Puede alguien ayudarme a pensar y entender mejor las integrales, especialmente cómo utilizar la simetría para facilitar los cálculos integrales?

También se agradecerá cualquier enlace o vídeo útil.

Answer 1

Porque el mapa $y \mapsto y^7$ es impar y el dominio $D$ simétrico con respecto al $y$ -Eje.

En general para un mapa impar, $\int_{-a}^a f(x) \ dx=0$ para $a \gt 0$ .

Answer 2

Porque para cada punto (x,y) en tu D, existe otro punto (x,-y) para el que tu integral daría el valor negativo exacto. Así que todo se cancela.