$\int_{x=0}^{100}\int_{y=0}^{100-x} \int_{z=0}^{100-x-y}(x+y+z)^{10} \mathrm dx \, \mathrm dy \, \mathrm dz$

Question

¿Hay alguna manera fácil de calcular lo siguiente

$\int_{x=0}^{100}\int_{y=0}^{100-x} \int_{z=0}^{100-x-y}(x+y+z)^{10} \mathrm dz \, \mathrm dy \, \mathrm dx$

y

$\int_{x=0}^{100}\int_{y=0}^{100-x} \int_{z=0}^{100-x-y}5\mathrm dz \, \mathrm dy \, \mathrm dx$

Answer 1

En ambas integrales debe ser $dz dy dx$ .

1. Si $k$ es una constante, observe que $\dfrac{d}{dz}\left(\frac{1}{11}(k+z)^{11}\right) = (k + z)^{10}$ .

2. Tenga en cuenta que $\iiint_V 5dV = 5\iiint 1dV = 5\operatorname{Vol}(V)$ .

Answer 2

Para la segunda integral, sí:

Esto es simplemente $5$ veces el volumen de una pirámide triangular recta, o: $$V=5\cdot\frac{1}{3}Ah=\frac{5}{6}100^3$$ Para la primera integral, puede consultar $r = z+y+x$ . Ahora el integrando es simplemente la suma de las áreas de las "rebanadas" paralelas a la base del triángulo equilátero, donde cada rebanada está a la distancia $r$ desde el origen. Dado que cada rebanada tiene constante $r$ , $$V=\int A_r \cdot r^{10} dr$$