Conexión de los espectros X(n) con las leyes formales de grupo

Question

En la demostración del Teorema de Nilpotencia, o al menos en el relato que hace Ravenel en su Libro Naranja, se utiliza una secuencia de espectros, denotados como $X(n)$ con $X(0)=\mathbb{S}$ y y $X(\infty)=MU$ tal que $\langle X(n)\rangle\geq\langle X(n+1)\rangle$ . Estos son los espectros Thom asociados al mapa $\Omega SU(n)\to BU$ . Son homotópicamente equivalentes a $MU$ hasta el grado 2n-1. Todos ellos tienen asociados mapas de Hurewicz $h(n):\pi_\ast(R)\to X(n)_\ast(R)$ para $R$ un espectro de anillo finito. Nos interesa, para el Teorema de Nilpotencia, determinar cuándo $h(n)(\alpha)=0$ en última instancia para $n=0$ . Para ello, Ravenel demuestra que si $h(n+1)(\alpha)=0$ entonces $h(n)(\alpha)$ es nilpotente.

Así, a partir de este teorema sabemos entonces que cualquiera de las $X(n)$ detectan la nilpotencia tan bien como $MU$ . Lo bueno de $MU$ (o una de las muchas cosas buenas) es que tiene al menos otra interpretación (es decir, aparte de su interpretación geométrica como espectro de Thom). Se trata, por supuesto, de que $MU_\ast$ determina leyes formales de grupo sobre anillos, y tienes todas estas cosas increíbles sucediendo. ¿Tienes alguna interpretación similar para estos $X(n)$ espectros, ¿o son SÓLO de naturaleza geométrica? O supongo que, para decirlo de otro modo, ¿conoce alguien otras formas de pensar sobre estas cosas?

Gracias.

Answer 1

Aunque no conozco una interpretación de $X(n)$ en términos de leyes de grupo formales (aparte de los comentarios de Eric y Dylan), me gustaría señalar que el teorema de nilpotencia es fundamentalmente un hecho geométrico y se demuestra de esa manera. El teorema de nilpotencia tiene una serie de corolarios en el sentido de que la perspectiva formal de grupo da una muy buena descripción de la estructura global de la categoría de homotopía estable, pero su demostración requiere hechos explícitos y computacionales sobre espectros muy específicos.

Por ejemplo, una forma de expresar el teorema de nilpotencia es que, para cualquier espectro conectivo $X$ El $E_\infty$ -página de la secuencia espectral de Adams-Novikov (dibujada con $t-s$ horizontalmente y $s$ verticalmente) tiene una "curva de fuga" que es asintóticamente plana: es decir, tiene pendiente que tiende a cero a medida que $t-s \to \infty$ . Es decir, la máxima filtración Adams-Novikov posible de un elemento en $\pi_k X$ crece en $k$ por alguna función que sea $o(k)$ . (En realidad, determinar cuál es esta función parece ser un problema abierto; véase la amena obra de Hopkins hable sobre el trabajo de Ravenel para debatirlo). Si se sabe que existe tal curva de fuga, se puede obtener enseguida el teorema de nilpotencia en su primera forma (sobre espectros de anillo) observando que un elemento en $\pi_* R$ para cualquier espectro anular que se mate por el $MU$ -Hurewicz se detecta en el ANSS en filtración positiva y sus potencias viven en una recta de pendiente positiva, que tiene que superar la curva de fuga asintóticamente plana. Esto es algo muy específico de $MU$ . Con mod $2$ (o incluso integral) y con el espectro de la esfera, la imagen de $J$ elementos ya descartan tal línea de fuga en el ASS clásico.

Sin embargo, es importante que no obtener la curva de fuga en $E_2$ que es la parte que proviene del álgebra. En $E_2$ -(que es la cohomología de $M_{FG}$ ) tiene muchos elementos no ilpotentes, por ejemplo el elemento correspondiente a $\eta$ . Una forma rápida de ver esto es considerar el mapa

$$B \mathbb{Z}/2 \to M_{FG}$$

(que corresponde geométricamente al mapa $S^0 \to KO$ ). El elemento $\eta$ no es nilpotente para $B \mathbb{Z}/2$ y por tanto no puede ser nilpotente en $H^*(M_{FG})$ aunque $\eta^3$ es asesinado por un $d_3$ diferencial en la secuencia espectral para $KO$ . El teorema de nilpotencia está diciendo de alguna manera algo global sobre la estructura de tales secuencias espectrales, que tiene que haber muchas diferenciales, que crean esta línea de fuga. Así que a cierto nivel, está diciendo lo que parece ser lo contrario: que la homotopía no puede parecer demasiado como el álgebra. (Escribí algunas notas en la secuencia espectral para $KO$ y, en última instancia, para $TMF$ en el primer $3$ que menciono porque trabajar con estas secuencias espectrales me ayudó a apreciar parte de esta tecnología. De hecho, es incluso mejor: obtienes plano líneas de fuga en etapas finitas; esto está relacionado con el teorema de aplastamiento de Hopkins-Ravenel que afirma que esto ocurre para cualquier $E(n)$ -espectro local). Así que no hay teorema de nilpotencia para $M_{FG}$ . (Como nota relacionada: no existe un teorema de subcategoría gruesa para la derivado categoría de módulos perfectos en $M_{FG}$ .)

Permítanme intentar resumir el argumento inductivo clave del artículo de Devinatz-Hopkins-Smith, que consiste en demostrar:

Teorema: Si $R$ es un espectro anular asociativo conectivo y $\alpha \in \pi_* R$ es tal que $X(n+1)_* \alpha =0$ entonces $X(n)_* \alpha $ es nilpotente.

De forma más general, puede preguntarse cuándo algo así es cierto:

Pregunta: Si $R \to R'$ es un morfismo de espectros de anillos y $R$ "detecta nilpotencia", entonces ¿cuándo $R'$ ?

Por ejemplo, si $R'$ y $R$ son equivalentes a Bousfield, entonces es fácil obtener el resultado, pero la $X(n)$ no son equivalentes a Bousfield. Sin embargo, sí resultan equivalentes a Bousfield en "telescopios de espectros conectivos", que resulta ser todo lo que se necesita. En particular, si $R'$ aniquila una localización $\alpha^{-1} T$ para $T$ un espectro de anillos conectivos (es decir, que $\alpha$ es nilpotente en $R'$ -), entonces $R$ . Eso es lo que muestran D-H-S, y su argumento se resume en:

Teorema axiomático de nilpotencia: Supongamos que $R'$ se obtiene a partir de un colímite filtrado de espectros $G_k$ tal que:

• En $G_k$ tienen buena $R'$ -secuencias espectrales de Adams: es decir, en las $E_\infty$ -página del $R'$ -ASS para $G_k \wedge X$ (para cualquier conectivo $X$ ), existe una recta de pendiente decreciente $\epsilon_k$ que tiende a cero a medida que $k \to \infty$ .
• Cada $G_k$ es equivalente en Bousfield a $R$ .

D-H-S compruebe estas condiciones para $X(n) \to X(n+1)$ . El primer paso es algo que hacen puramente algebraica (en $E_2$ ) utilizando una serie de secuencias espectrales de tipo May, y es la parte del argumento que podrías obtener utilizando hechos sobre grupos formales. Pero la segunda parte --que es mucho, mucho más difícil-- parece requerir algo de geometría y datos sobre cosas concretas como $E_2$ -álgebras y espectros de Thom y construcciones parciales de James. Sospecho que, a cierto nivel, el uso de este tipo de geometría es una característica ineludible de todo este asunto.