¿Cuántos números enteros $n$ para $3<n<100$ son tales que $1+2+3+\cdots+(n-1)=k^2$ con $k \in \mathbb{N^*}$ ?

Question

Sé que la suma $1+2+3+\cdots+(n-1)$ es igual a $\frac{(n-1)\cdot n}{2}$ .

Escribí la ecuación en las dos formas siguientes:

$$(n-1)\cdot \frac{n}{2}=k^2$$ $$(n-1)\cdot n=2k^2$$

Y traté de encontrar soluciones por ensayo y error. Encontré $50$ a través de la primera y $9$ a través de la segunda ecuación; y no parece haber otra solución ya que la respuesta a la pregunta era $2$ .

Sin embargo, sin duda creo que existe un método mucho más estructurado y metodológico para resolver la cuestión que, por desgracia, desconozco.

¿Cómo resolvería esta cuestión? Cualquier ayuda/pista/solución será muy apreciada. Muchas gracias.

Answer 1

La cuestión general de determinar qué números triangulares (es decir, de la forma $1+2+\dotsb+i$ ) también son cuadrados está profundamente relacionada con la ecuación de Pell-Fermat $x^2-2y^2=1$ por lo que no es trivial.

Más concretamente, la condición $n=\frac{t(t+1)}{2}=s^2$ es equivalente a $x^2-2y^2=1$ al configurar $x=2t+1$ y $y=2s$ los valores de $(x,y)$ son, por tanto, los $(x_k,y_k)$ dado por $x_k+\sqrt{2}y_k=(3+2\sqrt{2})^k$ dando los valores de $n$ : $n_k=(y_k/2)^2$ .

Consigue fácilmente $s_{k+2}=6s_{k+1}-s_k$ con $(s_0,s_1)=(0,1)$ los números cuyos cuadrados son también números triangulares. Los primeros son $0$ , $1$ , $6$ , $35$ , $204$ y $1\,189$ .

Answer 2

Como usted ha dicho, su suma es $\frac{(n-1)n}{2}$ .

Así, para que la suma sea un cuadrado perfecto, debe ser de la forma $4m$ si es par, o $8m+1$ si impar, donde $m$ es un número entero.

Ahora bien, si $n=2a=\mathrm{even}$ entonces tenemos $$\frac{(n-1)n}{2}$$ $$=\frac{(2a-1)2a}{2}$$ $$=(2a-1)a$$ $$=2a^2-a$$

Ahora bien, si $n=2a+1=\mathrm{odd}$ entonces tenemos $$\frac{(n-1)n}{2}$$ $$=\frac{(2a)(2a+1)}{2}$$ $$=(2a+1)a$$ $$=2a^2+a$$

A ver si esto te ayuda.