Volumen de un determinado $n$ -región dimensional

Question

¿Qué es el $n$ -volumen dimensional de la región $\{ x \in \mathbb{R}^n|x_i \geq 0$ para todos $i = 1,...,n$ y $x_1 + ... + x_n 1 \}$

Estoy pensando en utilizar una relación de recurrencia, pero no sé cómo empezar.

Answer 1

Observa el volumen en 3D para ver cómo realizar la integral:

$$V = \int\limits_{x_1=0}^1 d x_1 \int\limits_{x_2 =0}^{1-x_1} dx_2 \cdots \int\limits_{x_n = 0}^{1 - x_1 - x_2 - \cdots - x_{n-1}} dx_n$$