Sea $S$ sea una subbase para una topología sobre un conjunto infinito $X$ ¿Existe algún subconjunto $H$ de $S$ con $Card(H)\leq Card(X)$ tal que $H$ sea una subbase de esa topología sobre $X$ $?$ pruébalo o dame un contraejemplo por favor.
Respuesta
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Sea $Y=\Bbb N\times\Bbb N$ , dejemos que $p$ sea un punto que no esté en $Y$ y que $X=\{p\}\cup Y$ . Para cada función $f:\Bbb N\to\Bbb N$ deje
$$B_f=\{p\}\cup\{\langle k,\ell\rangle\in Y:\ell\ge f(k)\}\;.$$
Topologizar $X$ haciendo que cada punto de $Y$ aislado y tomando $\left\{B_f:f\in{^{\Bbb N}\Bbb N}\right\}$ como base local en $p$ .
Para demostrar que se trata de un contraejemplo basta con demostrar que $X$ no tiene subbase contable.
Supongamos que $\mathscr{S}$ es una subbase de $X$ . Sea
$$\mathscr{B}=\left\{\bigcap\mathscr{F}:\mathscr{F}\subseteq\mathscr{B}\text{ and }\mathscr{F}\text{ is finite}\right\}\;,$$
la base generada por $\mathscr{S}$ . $\mathscr{S}$ es infinito, por lo que $\mathscr{S}$ tiene $|\mathscr{S}|$ subconjuntos finitos, y por tanto $|\mathscr{B}|=|\mathscr{S}|$ . Si $\mathscr{S}$ eran contables, $\mathscr{B}$ también sería contable, y $X$ sería segundo contable y, por tanto, primero contable. Pero es fácil ver que no tiene base local contable en $p$ .
Supongamos que $\mathscr{U}=\{U_n:n\in\Bbb N\}$ es una familia contable de nbhds abiertos de $p$ . Para cada $n\in\Bbb N$ hay un $f_n:\Bbb N\to\Bbb N$ tal que $B_{f_n}\subseteq U_n$ . Defina
$$g:\Bbb N\to\Bbb N:k\mapsto 1+\max\{f(\ell):\ell\le k\}\;;$$
entonces $B_g\nsupseteq B_{f_n}$ para cada $n\in\Bbb N$ Así que $\mathscr{U}$ no es una base local en $p$ .
