Prueba falsa por qué $C^1$ implica localmente Lipschitz

Question

Produje una prueba (posiblemente) falsa de por qué $C^1$ implica localmente Lipschitz para $f: \mathbb R^n \to \mathbb R^n$ .

Por favor, ¿podría alguien decirme dónde está mi error?

Prueba:

Sea $f: \mathbb R^n \to \mathbb R^n$ sea continuamente diferenciable y que $x_0 \in \mathbb R^n$ . El objetivo es encontrar una vecindad de $x_0$ en el que $f$ es continua de Lipschitz.

Desde $f$ es diferenciable por la definición de la derivada dada $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que

$$ \|x-x_0\| < \delta \text{ implies }\left \|f'(x_0) - {f(x) - f(x_0) \over x - x_0} \right \| < \varepsilon$$

En particular, existe $\delta$ tal que $\left \|f'(x_0) - {f(x) - f(x_0) \over x - x_0} \right \| < 1$ lo que implica que para $\|x-x_0\| < \delta$ tenemos $$ \left \| {f(x) - f(x_0) \over x - x_0} \right \| < 1 + \|f'(x_0)\|$$

Por lo tanto $B(x_0, \delta)$ es una vecindad de $x_0$ en el que $f$ es continua de Lipschitz con constante de Lipschitz $L=1$ .

Answer 1

Estoy bastante seguro $C^1$ hace implican localmente Lipschitz. Pero la constante de Lipschitz es el límite de la (norma de la) derivada, para lo cual se necesita continuidad de la derivada. Esto se deduce fácilmente del teorema fundamental del cálculo. Para ver que siendo $C^1$ no implica $1$ -Lipschitz, considere $f(x)=2x$ .

Su argumento es erróneo desde el principio: como otros han sugerido, su notación se aplica al caso de $n=1$ . Probablemente esto se pueda arreglar fácilmente. Más importante aún, usted simplemente ha demostrado que si $\lvert f(x)-f(x_0)\rvert\leq (1+C)\cdot \lvert x-x_0\rvert$ para $C=\lvert f'(x_0)\rvert $ , para fijo $x_0$ .

No creo que esto implique ni siquiera ser localmente Lipschitz en $x_0$ (considere algo como $f(x)=x\sin(1/x)$ ), y mucho menos ser $1$ -Lipschitz, y ciertamente no implica ser localmente Lipschitz en todas partes (considere $f(x)=\sin(1/x)$ para $x\neq 0$ , $f(0)=0$ esta función satisface su condición en cualquier lugar excepto $0$ pero no es Lipschitz, ni siquiera continua, en $0$ ).

Aún así, esto puede ampliarse fácilmente para dar otra prueba de que un $C^1$ es localmente Lipschitz: basta con dejar que $x_0$ y luego observar que la derivada está acotada localmente, para ver que en un conjunto dado la constante de Lipschitz está acotada por $1$ más el límite de la derivada. Entonces $1$ tienden a cero (en la parte que dice "en particular" en tu demostración), para obtener la misma cota sobre la constante de Lipschitz que la que puedes obtener del teorema fundamental del cálculo (y que es óptima, simplemente considerando funciones lineales).

Answer 2

Tu demostración podría ser correcta si hubieras tomado una bola cerrada unitaria centrada en $x_0$ utilizando la desigualdad del valor medio, la constante de Lipschitz es $L=\sup_{B(x_0,1)}||Df(x)||$ .

Answer 3

No hay razón para hacer el cociente $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ a menos que tu n sea 1. Perdón por mi inglés. Creo que es esto.