Aceleración relativista en campo eléctrico sinusoidal

Question

Consideremos una carga relativista $q$ en movimiento con un campo eléctrico oscilante $E_z$ con velocidad de fase $v_p=c$ en dirección $\hat{z}$ (por ejemplo, láser polarizado radialmente coprogando con el electrón). ¿Cuál es la ganancia de energía de esta carga en función del tiempo?

He establecido esto a partir de la fuerza relativista

$$F=\frac{dp}{dt}=\frac{d}{dt}(\gamma m \dot{z})= qE_0 \sin{((c-\dot{z})t k)}$$

donde $t$ es el tiempo, y $k$ es el número de onda habitual $k=2\pi/\lambda$ .

Mi confusión surge de la $\dot{z}$ en la RHS. No tengo mucha experiencia con ecuaciones diferenciales, así que me pregunto si es necesario escribirlo como $\dot{z}=\int_0^t dt' \ddot{z}$ o si la atribución de $\ddot{z}$ conduce automáticamente a una $\dot{z}$ ?

Gracias por cualquier ayuda.

Después de pensarlo un poco, la ecuación escrita más arriba es en realidad errónea. Debería escribirse así:

$$F=\frac{dp}{dt}=\frac{d}{dt}(\gamma m \dot{z})= qE_0 \sin{(k(ct-\int_0^t\dot{z}dt' +z(t=0))}$$

Agradecería ayuda para resolver esta ecuación si alguien tiene experiencia. ¡TY!

Answer 1

Así que en realidad esto no es tan fácil como supones, ya que para velocidades de partículas cargadas que son una fracción significativa de c, ya no puedes omitir el campo magnético en la fuerza de Lorentz. Entonces la ecuación de movimiento tiene un término adicional, que conduce al llamado movimiento en forma de ocho, que un electrón en un campo láser intenso realiza en el marco de referencia de co-movimiento. Sin embargo, se puede resolver la ecuación analíticamente, obteniendo una velocidad de deriva de la partícula, que está relacionada con su energía cinética.

Eche un vistazo aquí, capítulo 2.1.2:

Tesis doctoral en el campo de las interacciones relativistas del plasma láser

Answer 2

Lo primero que hay que hacer es una transformación de Lorentz en el marco de reposo inicial del electrón. Esto conduce a un desplazamiento doppler del campo eléctrico. Si realmente quieres omitir el campo magnético, tus ecuaciones de movimiento se vuelven unidimensionales porque el electrón sólo oscilará en la dirección de la polarización del campo luminoso. Las ecuaciones de movimiento se convierten en (aquí utilizo un campo coseno): $$\frac{d}{dt} p = q E_0 \cos(\tilde{\omega} t)$$ $$\Rightarrow p = \frac{E_0}{\omega} \sin(\tilde{\omega}t)$$ $$\frac{d}{dt} z = \frac{p}{m_e \sqrt{1+\frac{p^2}{m_e^2 c^2}}}$$ Esto puede resolverse después de insertar la solución para $p$ por integración simple y se obtiene $$z(t) = \frac{c}{\tilde{\omega}}\left(\arctan{\alpha} - \arctan{\left( \frac{\alpha \cos(\tilde{\omega}t)}{\sqrt{1+\alpha^2 \sin^2(\tilde{\omega}t)}} \right)} \right)$$ con $\alpha = \frac{E_0}{m_e c \omega}$ Ahora, en el último paso, tenemos que transformarnos de nuevo en el marco de laboratorio. Esto se puede hacer con la sustitución $$t = \gamma_0 (t_\text{lab}+\frac{v_0 x_\text{lab}}{c^2})$$ y trivialmente $$z_\text{lab} = z$$ $$x_e = v_0 t_\text{lab}$$ finalmente $$\tilde{\omega} = \sqrt{\frac{1-\frac{v_0}{c}}{1+\frac{v_0}{c}} }\omega$$ A continuación se muestra un gráfico de la solución para diferentes $\alpha$ . Se puede ver claramente que pasa de armónico simple, que es el límite newtoniano a una función triangular, que es el límite relativista. [ 1

Answer 3

Así que vamos a hacer esto un poco más detallado.

Para facilitar las cosas, consideramos la onda no en términos de su campo eléctrico, sino en términos de su potencial vectorial.

$${\bf A}({\bf r},t)={\bf e}_y {\bf A}_0\sin(\varphi), \quad \varphi=kx-\omega t \qquad({\rm I})$$

Para recordar, por analogía con un potencial en un campo de fuerza conservativo, se puede definir un potencial vectorial para un campo de fuerza, cuyo rizo no es evanescente por

$${\bf B}=\nabla\times{\bf A},\qquad({\rm II})$$ $${\bf E}=-\nabla\Phi-\frac{\partial}{\partial t}{\bf A},\qquad({\rm III})$$

Aquí tomamos $\Phi=0$ (galga de Coulomb). La primera cosa importante a mencionar aquí, es la cantidad

$$a_0=\frac{eA_0}{m_e c_0}=\frac{v_{class}}{c},\qquad({\rm IV})$$

que se denomina potencial vectorial normalizado. Se trata básicamente de la velocidad clásica de un electrón en un campo electromagnético dividida por la velocidad de la luz. Esto en realidad le dice, cuando usted necesita para manejar el movimiento de un electrón en un em-campo relativista (es decir, para $a_0\ge 1$ ).

Bien, escribamos la ecuación de movimiento del electrón y la ecuación de energía:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\gamma m_e {\bf v}\right)=-e\left({\bf E} + {\bf v} \times {\bf B}\right),\qquad({\rm V})$$ $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\gamma m_e c_0^2\right)=-e{\bf vE},\qquad({\rm VI})$$

Si ahora tomamos la ecuación de movimiento (V), podemos reordenarla utilizando las ecuaciones (II), (III) y las relaciones $\frac{\mathrm{d}{\bf A}}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}+(\frac{\mathrm{d}{\bf r}}{\mathrm{d}t} \cdot \nabla){\bf A}$ , ${\bf v}\times(\nabla\times{\bf A})=\nabla({\bf vA})-({\bf v}\nabla){\bf A}$ y $\frac{\partial {\bf A}}{\partial y}=\frac{\partial {\bf A}}{\partial z}=0$ para obtener

$$\frac{\mathrm{d}p_y}{\mathrm{d}t}=e\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}$$

La integración conduce a $$p_y-eA=C_1=const.,\qquad({\rm VII)}$$ que se denomina la primera invariante del movimiento del electrón.

Si ahora tomas la ecuación de la energía (VI), encontrarás con la ayuda de ${\bf B_0}={\bf E_0}/c$ y ${\bf \tilde{p}}={\bf p}/(m_e c_0)$ la segunda invariante del movimiento del electrón

$$\frac{\mathrm{d}\tilde{p}_x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t} \quad \Rightarrow \quad \gamma-\tilde{p}_x=C_2=const.,\qquad({\rm VIII)}$$

De ambas invariantes (VII) y (VIII) se puede derivar la relación entre el momento en dirección x e y, teniendo en cuenta que $\gamma^2=1+\tilde{p}^2$ :

$$\tilde{p}_x=\frac{1-C^2_2+\tilde{p}_y^2}{2C_2}.\qquad({\rm IX)}$$

En realidad todo está bien, hasta aquí. Si quieres ir más lejos, es necesario determinar las invariantes, mediante el establecimiento de la condición de partida de su sistema.

Para un electrón en un campo láser intenso simplemente puede elegir las condiciones de partida de su electrón para estar en reposo en $t=0$ y en $x=0$ . Entonces las invariantes son $C_1=0$ , $C_2=1$ y obtendrás de (VII) y (IX)

$$\tilde{p}_y = \ \frac{eA}{m_e c_0}= a$$ $$\tilde{p}_x = \ \frac{\tilde{p}_y^2}{2}=\frac{a^2}{2}$$ $$\gamma = \ 1+\tilde{p}_x=1+\frac{a^2}{2}$$

Y realmente a partir de esto la energía cinética de la partícula se calcula como

$$\mathcal{E}_{kin}=(\gamma-1)m_e c_0^2=m_e c_0^2\frac{a^2}{2}$$

Así que tenga en cuenta que $a=a(x,t)$ ¡es aquí una función del tiempo y del espacio!

Si quieres una solución para una partícula relativista en un campo EM débil, entonces necesitas establecer tus condiciones de partida y ver a dónde llegas a partir de la ecuación (IX).

Answer 4

Como aún no puedo hacer comentarios, aquí van algunas ideas a tu pregunta inicial:

Un campo eléctrico cambiante siempre generará un campo magnético debido a Maxwell:

$$\nabla \times {\bf H} = \varepsilon_0 \frac{\partial {\bf E}}{\partial t}$$

Así que no se puede considerar que un campo eléctrico cambie con el tiempo por separado. Y quieres considerar una partícula que se mueve con $\gamma>1$ . La ecuación de movimiento de un electrón en un campo em es

$$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}(\gamma m_e c_0^2)=-e({\bf E + v\times B})$$ .

La contribución del campo magnético a la fuerza se suprime por un factor de $1/c_0$ frente a la contribución del campo eléctrico, es decir $B_0=\frac{E_0}{c_0}$ . Pero esto significa, que la contribución a la fuerza ${\bf v \times B}$ no es despreciable, cuando $v\sim c$ . Si se quiere despreciar el campo magnético, o bien hay que considerar un campo eléctrico constante, o bien una partícula con $\gamma \ll 1$ .