Me dan un polinomio $p$ de grado $4$ y sus raíces, llamémoslas $r_1,$ $r_2$ , $r_3$ y $r_4$ . Me piden que muestre cuál es el valor de la expresión de $\sum r_1^4$ Eso es, $r_1^4+r_2^4+r_3^4+r_4^4$ .
Mi enfoque
Si intento utilizar polinomios simétricos de la forma que lo hace el teorema fundamental de los polinomios simétricos tengo que restar $\sum r_1^4 - e_1^4$ donde $e_1 = r_1 + r_2 + r_3+ r_4$ esto da una expresión muy complicada de calcular a mano porque tendría términos de la forma $\sum r_1^3r_2r_3, \sum r_1^2r_2r_3, \cdots$
En su lugar leí un método que dice que puedo expresar mi expresión polinómica como una combinación dada de todos los polinomios simétricos de grado cuatro que se pueden formar con polinomios simétricos de grado 4. Así que según esto debería escribir:
$p = a_1e_1^4+a_2e_2^2+a_3e_1e_3+a_4e_4$
El problema
El problema viene a la hora de evaluar este polinomio para obtener el $a_i$ . Obtengo distintos coeficientes con distintas evaluaciones. Así que para el primer paso podría elegir $r_1 = 0$ y $r_i = 0$ para el resto. Entonces consigo $a_1 = 1$ y la ecuación se convierte en:
$p = e_1^4+a_2e_2^2+a_3e_1e_3+a_4e_4$
Sin embargo, para el segundo coeficiente podría poner $r_1 = 1, r_2 = -1$ y el resto $0$ . En este caso obtengo $a_2 = 2$ . Elegir $r_1 = r_2 = 1$ y el resto $0$ conduce a $a_2 = -14$ . Dado que la expresión de un polinomio en función de polinomios simétricos debe ser única, esto tiene que ser erróneo. Además, la suma del resultado final obtenido utilizando las fórmulas de Cardano-Vieta no se corresponde con las verdaderas raíces del polinomio que me dan.
¿Qué estoy haciendo mal?
Solución de GAVD
El método dado por GAVD ilustra que el error en mi desarrollo fue que me faltaba algún polinomio simétrico elemental, a saber, $s_1^2s_2$ simplemente expresando de forma canónica el polinomio que le resulta.
