Series de la forma $|L - S_N|$

Question

Me interesan las series de la forma $\lim_{n\to\infty}$$|suma_{N=1}^n |L-S_N|$ donde $\lim_{N\to\infty}S_N = \lim_{N\to\infty}\sum_{k=1}^N a_k = L$ y L no es igual a $0$ .

He probado todo lo que tengo a mano para determinar si siempre converge o no. Mediante la prueba de D'Alembert llego a $$\lim_{N\to\infty}\frac{|L-S_{N+1}|}{|L-S_N|}$$ entonces aprovechando que $S_{N+1}=S_N+a_{N+1}$ , obtengo $$\lim_{N\to\infty}|\frac{L-S_N-a_{N+1}}{L-S_N}|$$ $$\lim_{N\to\infty}|1-\frac {a_{N+1}}{L-S_N}|$$ Se da el caso de que $0<S_N<S_{N+1}<L$ entonces $0<S_{N+1}-S_N<L-S_N$ por lo tanto $0<\frac {a_{N+1}}{L-S_N}<1$ Aplicando el operador límite a ambos lados de la desigualdad $0\leq\lim_{N\to\infty} \frac {a_{N+1}}{L-S_N}\leq 1$ Así, si el término general dividido por la diferencia entre la serie y el límite es mayor que $0$ la serie convergerá, si no, no lo sé. Otra forma de escribirlo sería: $$\lim_{N\to\infty}|1-\frac {a_{N+1}}{a_{N+1} + \sum_{k=N+2}^\infty a_k}|$$ Cuanto más avanza la serie, más se acerca $a_{N+1}$ y $\sum_{k=N+2}^\infty a_k$ que reciben. Tal vez sea $0.5$

Answer 1

No conozco un resultado general. Aquí hay algunas ideas.

Si $a_n>0$ para todos $n\geq 1$ entonces $S_N$ aumenta y $$\sum_{N=1}^{\infty} |L-S_N|=\sum_{N=1}^{\infty} \sum_{k=N+1}^{\infty}a_k=a_2+2a_3+3a_4+\dots=\sum_{k=1}^{\infty}ka_{k+1}.$$ Así, por ejemplo, si $a_k=1/k^a$ su serie es convergente si y sólo si $a>2$ .

Este es un ejemplo en el que el signo de $a_k$ es alterna. Sea $$S_N=\sum_{k=1}^{N}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\to \ln(2)$$ entonces $$\sum_{N=1}^{2n} |L-S_N|=\sum_{N=1}^{2n}\sum_{k=N+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+N+1}}{k}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\to +\infty$$ y su serie es divergente.