¿Qué más cohomologies significa concretamente en diversos cohomology teorías)?

Question

Superficialmente creo comprender las definiciones de varios cohomologies: (1) de Rham cohomology en suave colectores (entiendo que esto puede ser probablemente extendida para algebraica de configuración, pero no he leído nada al respecto) (2) Cech cohomology en las superficies de Riemann, o esquemas de (3) Grupo de cohomology en la teoría de números y tengo algunas dificultades de comprensión de la interpretación de cohomology functors como derivados de functors.

Así que mi pregunta es: ¿qué es lo más cohomology grupos significa concretamente?

Algunos detalles:

Para (1): formas cerradas modulo exacta formas, pero hay algo más concreto? No resolver algunas ecuaciones diferenciales, pero...¿hay algo más?

Para (2): la dualidad de Serre implica la 1ª cohomology grupo es doble para linealmente independientes meromorphic funciones de la satisfacción de ciertas condiciones wrt un divisor. Cómo un aumento de la cohomologies? Mi fuente principal es Forster del libro, por lo que la dualidad de Serre tratado allí podría no ser el más general posible.

Para (3): $H^0(G,A)$ $G$- invariante elementos de $A$, 1 cohomology es el $A$-torsors, 2º cohomology es extensiones de $A$$G$. Cómo un aumento de la cohomologies? Mi fuente principal es Artin "Algebraica de los números y de las funciones algebraicas", y "Cohomology de los campos de número". El último libro (pág.20, 2ª Edición) estados muy groso que (en mi interpretación, más sinceras disculpas a los autores si he malinterpretado nada), mayor cohomologies no puede tener interpretaciones concretas, sino que también juegan un papel importante en la comprensión de menor cohomologies y demostrando resultados acerca de ellos.

PS: Mi fondo (en caso de que sea necesario), muy muy rudimentarios conocimientos en análisis, álgebra, geometría algebraica y teoría de números, pero no han aprendido en serio cualquier topología algebraica (a pesar de haber visto la prueba de Brouwer teorema de punto fijo a través de homología singular). Yo podría tener una tendencia para el análisis y comprensión algebraica de las cosas (por ejemplo, mi primera impresión de cohomology es que es la obstrucción de la exactitud, la necesidad de ampliar exacta de secuencias).

Un lado de la pregunta: ¿es recomendable en serio y aprender topología algebraica para obtener una mejor idea de cohomology teorías?

Muchas gracias.

Answer 1

La última pregunta tiene una fácil respuesta : es muy deseable para aprender topología algebraica! Es la más concreta configuración de un cohomology de la teoría, y sería difícil apreciar mucho (por ejemplo) gavilla cohomology sin al menos algún conocimiento de la topología algebraica de fondo.

Con eso dicho, el siguiente teorema de Thom da lo que considero que la mayoría de la descripción concreta de la más singular de la homología de grupos, al menos más de $\mathbb{Q}$. Esta es probablemente la mejor cosa para tratar de entender primero.

TEOREMA : Vamos a $X$ ser un suave colector. Entonces para cualquier $v \in H_k(X;\mathbb{Q})$, existe un número racional distinto de cero $q$, una suave compacto, orientado $k$-colector $M^k$, y un mapa continuo $\phi : M^k \rightarrow X$ tal que $v = q \cdot \phi_{\ast}([M^k])$. Aquí $[M^k]$ es la clase de orientación del colector.

En otras palabras, usted debe pensar en la $k$-dimensiones de la homología de las clases como una especie de "ponderado singular $k$-dimensiones submanifold" de su espacio. Si $X$ es una variedad de dimensión al menos $2k+1$, de hecho, se puede asumir que los mapas $\phi$ descrito acerca de incrustaciones, por lo que la homología de las clases son en realidad ponderado submanifolds.

Por supuesto, le pregunté acerca de cohomology, no de homología. Sin embargo, para compact $n$-colectores tenemos la dualidad de Poincaré, que le da un natural de la identificación entre el$H^{n-k}(M;\mathbb{Q})$$H_{k}(M;\mathbb{Q})$. De esta manera, puede transferir su intuición para homología a cohomology.

Answer 2

Aprendizaje de la topología algebraica, al menos en el nivel de homología singular y cohomology, y la dualidad de Poincaré, es esencial si usted planea usar homológica técnicas en su trabajo con cualquier tipo de graves comprensión.

No es sólo que el simplicial técnicas involucradas en la homología singular y cohomology son importantes en sí mismos (aunque ciertamente lo son!), pero proporcionan un modelo para mucho más (por ejemplo, la definición de Cech cochains). También, el grupo de cohomology es una instancia de singular cohomology (de una clasificación de espacio para la grupo), por lo que este proporciona una interpretación de la mayor cohomology grupos, y un método para probar la existencia de las cosas acerca de ellos (y también una posible razón para la atención acerca de ellos).

Como otro ejemplo, de Rham cohomology se entiende mejor en términos del teorema de de Rham, que se refiere a la singular cohomology del colector (y muestra que no es "más" --- a saber, el teorema de de Rham es uno de los primeros ejemplos de el fenómeno de la topológico obstáculos a la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, algo que es un bonito tema general en matemáticas). También puede estar relacionada con ciertos coherente cohomology espacios (en el contexto de suave proyectiva de variedades algebraicas, por ejemplo, las superficies de Riemann) y, a continuación, también se obtiene una relación entre la dualidad de Poincaré y la dualidad de Serre, que arroja luz sobre ambos.

Answer 3

Tomar algo de álgebra $\Lambda$, y de considerar su categoría de finitely generado izquierda-módulos de $_\Lambda \operatorname{mod}$. Es parte del folclore que para los módulos de $M,N$, el grupo de $\operatorname{Ext}^1 (M,N)$ controles de extensiones de $N$$M$, es decir, módulos obtenidos por encolado $M$ $N$ en alguna manera. Así que supongamos que conocemos todos los módulos sencillos $S_i$ y todos los $\operatorname{Ext}^1$-grupos entre ellos. Usted podría pensar que esto fue suficiente para recuperar todo el módulo de la categoría de hasta equivalencia, desde cualquier módulo puede ser construido por pegando simples. Se equivoca, sin embargo, y no son fáciles de contraejemplos: tome $\Lambda_3 = k[x]/x^3$$\Lambda_4 =k[x]/x^4$. Estas álgebras de tener sólo un simple módulo (el trivial módulo de $k$). Su módulo de categorías son diferentes, pero tienen el mismo ext grupos: de hecho, la ext anillos $$ \operatorname{Ext}^* (k,k) = \bigoplus \operatorname{Ext}^n (k,k) \cong k[x,y]/x^2 $$ por tanto álgebras. De modo que la estructura de anillo sobre el gran anillo formado por mayores ext grupos es que no lo suficiente como para volver el módulo de categorías. Sin embargo, el anillo ext lleva lo que se llama un $A_\infty$-estructura: una secuencia de orden superior de las operaciones de la generalización de la Massey productos y la satisfacción de ciertos axiomas. Es un teorema que $_\Lambda\operatorname{mod}$ puede ser recuperado de la ext anillo de $\operatorname{Ext}^*(\bigoplus S_i,\bigoplus S_i)$ junto con su $A_\infty$-estructura: ver http://arxiv.org/abs/math/9910179 y Keller otras notas sobre este tema.

Para resumir: la mayor ext grupos de control de la estructura de la categoría de módulo, pero sólo cuando está equipado con algunas de las operaciones.

Answer 4

Aquí están algunos ejemplos de mayor cohomology grupos de álgebra:

1. Un ejemplo concreto de una mayor cohomlogy grupo que "significa algo" es el grupo de Brauer de un campo. Si $K$ es un campo y $K^s$ su separables de cierre (creo algebraica de cierre de la si $K$ es perfecto, por ejemplo, si se ha característica 0), entonces el grupo de Galois $\text{Gal}(K^s/K)$ actúa sobre el grupo multiplicativo $(K^s)^\times$, y el grupo de Brauer es el segundo grupo de homología grupo $$ \text{Br}(K)= H^2(\text{Ga}(K^s/K),(K^s)^\times). $$ Ahora, ¿qué significa? El grupo de Brauer clasifica central simple álgebras de más de $K$ hasta Morita equivalencia. La estructura del grupo corresponde a producto tensor de álgebras. Esta es una muy real y concreto de la interpretación. Por ejemplo,$\text{Br}(\mathbb{R})\cong C_2$, el grupo cíclico de orden 2, debido a que cualquier central de simple álgebra $\mathbb{R}$ es Morita equivalente a $\mathbb{R}$ o a $\mathbb{H}$ - el álgebra de cuaterniones (se puede pensar en equivalencia de Morita como diciendo: "bueno, hay también la matriz de álgebras de más de estos chicos, pero no nos tratan como cualquier cosa nueva"). También, $\mathbb{H}\otimes \mathbb{H}$ es Morita equivalente a $\mathbb{R}$, lo que refleja el hecho de que $\mathbb{H}$ representa un elemento de orden 2 en el grupo de Brauer.
   El grupo de Brauer es muy importante en el campo de clase de teoría, una rama de la teoría algebraica de números (hay algunas buenas introducciones, por ejemplo, en Milne sitio web).

2. Otro ejemplo concreto de un derivado functor con un significado concreto del mundo del álgebra es la Ext functor. Dado $R$-módulos de $A$$B$, el grupo de $\text{Ext}^n_R(A,B)$ clasifica $n$-extensiones del plazo $$ 0\rightarrow B\rightarrow X_n\rightarrow\cdots\rightarrow X_1\rightarrow\rightarrow0 $$ adecuado de equivalencia.

3. Por último, también es posible que desee leer sobre el Schur multiplicador de un grupo finito. Pero para entender lo que realmente los "medios", usted necesita saber un poco de la teoría de representaciones de grupos finitos.