Demostrar que $\det V(1,2,..,n)$ divide $\det V(k_1,k_2,...,k_n)$ donde cada $V$ es la matriz de Vandermonde asociada

Question

Sea $k_1<k_2<...<k_n$ sean números enteros. Demostrar que $$\det\big(V_n(1,2,..,n)\big)\mid \det\big(V_n(k_1,k_2,...,k_n)\big),$$ donde V es una matriz de Vandermonde.

Creo que es una generalización de un problema fácil: $$12\mid(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(d-c),$$ y es más difícil. No tengo ni idea :(

Answer 1

Denote $(x)_k = x(x-1)\cdots (x-k+1)$ y considerar el determinante $$ D = \begin{vmatrix} 1 & 1&\dots &1\\ {k_1\choose 1} & {k_2\choose 1}&\dots &{k_n\choose 1}\\ {k_1\choose 2} & {k_2\choose 2}&\dots &{k_n\choose 2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {k_1\choose n-1} & {k_2\choose n-1}&\dots &{k_n\choose n-1} \end{vmatrix}. $$ Claramente, $$ D = \frac{1}{\det V_n(1,2,\dots,n)}\begin{vmatrix} 1 & 1&\dots &1\\ (k_1)_1 & (k_2)_1&\dots &(k_n)_1\\ (k_1)_2 & (k_2)_2&\dots &(k_n)_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (k_1)_{n-1} & (k_2)_{n-1}&\dots &(k_n)_{n-1} \end{vmatrix}. $$ Pero el último determinante se transforma fácilmente en $\det V_n(k_1,\dots,k_n)$ con la ayuda de operaciones de fila.

Estaría bien ver una interpretación combinatoria de $D$ .