En la teoría de la cohomología de grupos, me encontré con un problema. Puede que sea una pregunta tonta, pero llevo mucho tiempo dándole vueltas.
Sea $G$ sea un grupo y $A$ abd $B$ sea un grupo abeliano con acción de $G$ en cada uno de ellos.
Entonces $A$ y $B$ son $G$ -módulos (o $\mathbb{Z}[G]$ módulos).
Consideremos el conjunto $\mbox{Hom}(A,B)$ de homomorfismos de grupo abeliano $A$ en $B$ . Dada la acción de $G$ en este conjunto por (dado $x\in G$ y $a\in A$ ) $$f^x(a):=(f(a^{x^{-1}}))^x \hskip1cm (*).$$ Mi pregunta es simple, no sé dónde está mi falta de comprensión.
¿No podemos considerar la acción de $$f^x(a):=(f(a))^x\hskip1cm (**)$$ o $$f^x(a):=f(a^x) \hskip1cm (***)?$$ En estos casos, la acción de $G$ se considera esencialmente sólo en un módulo. Pero ¿Cuál es la razón para considerar la acción de $G$ en $\mbox{Hom}(A,B)$ como en ( * ) en la Cohomología de grupos? Además, ¿por qué inversa viene en (*)?
En el aula, escribía en un cuaderno la acción de $G$ como en $(***)$ pero en cuanto el orador escribió $(*)$ Me quedé perplejo con la pregunta anterior.
