¿Cómo podemos evaluar el polinomio característico con una matriz como parámetro?

Question

Para cualquier polinomio p(x) = $a_0+a_1x+· · ·+a_kx^k$ y cualquier matriz cuadrada A, se define p(A) como p(A) = $a_0I + a_1A + · · · + a_kA^k$ . Demuestre que si v es cualquier vector propio de A y $_A(x)$ es el polinomio característico de A, entonces $_A(A)v$ = 0, Deducir que si A es diagonalizable entonces $_A(A)$ es la matriz cero

No entiendo qué significa aquí aplicar el polinomio característico con la matriz como parámetro. ¿Se resta de cada término en p(A)?

Answer 1

La definición dada para $p$ sólo te está mostrando cómo tratar $\chi_A(A)$ . El polinomio característico suele tomar valores escalares y tiene raíces en los valores propios de $A$ pero ahora en lugar de una función de $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ lo tratamos como una función $M_{n\times n}(\mathbb{R})\to M_{n\times n}(\mathbb{R})$ donde introducimos una matriz y obtenemos una matriz como resultado. La función $p$ sólo se utiliza como ejemplo.

Answer 2

Como se mencionó en el otro post, si $p(x)$ es un polinomio, entonces $p(A)$ es simplemente introducir A. Funciona de forma análoga (pero recuerde multiplicar el término constante por el término identidad matriz).

Ahora, para ayudarte con la segunda parte, necesitas conocer el teorema del mapeo espectral. Dice que $$spec(p(A))=p(spec(A))$$ Es decir, los valores propios de p(A) son los valores propios de A, evaluados en el polinomio, es decir $p(\lambda_1),...,p(\lambda_n)$ donde $\lambda$ son valores propios de p(A).

Aquí $p=\chi$ el polinomio característico. Entonces por el teorema del mapeo espectral se sabe que los valores propios de $\chi(A)=\chi(\lambda_1),...,\chi(\lambda_n)$ . Pero por definición del polinomio característico, todos son 0. Así que el único valor propio de $\chi(A)$ es 0. Si A es diagonalizable, puede escribirse de la forma $A=VDV^{-1}$ donde $D=diag(\lambda)$ y V son los vectores propios. Supongamos que el polinomio característico de A tiene la forma $a_0+a_1x+...+a_nx^n$ . Entonces

$$\begin{split}\chi(A)&=a_0I+a_1A+...+a_nA^n\\ &=a_0I+a_1VDV^{-1}+...+a_nVD^nV^{-1}\text{ a nice property of diagonalization}\\ &=V(a_0I+a_1D+...+a_nD^n)V^{-1}\\ &=Vdiag(a_0+a_1\lambda_i+...+a_n\lambda_i^n)V^{-1}\text{ by nice property of diagonal matrices}\end{split}$$

Pero el polinomio característico de A evaluado en cada uno de sus vectores propios es 0. Por lo tanto esto se convierte en

$$\begin{split}\chi(A)&=V0V^{-1}\\&=0\end{split}$$ la matriz nxn cero.

Esto demuestra la segunda parte.

La primera parte te la dejo a ti.