Sobre la exponencial estocástica en el cálculo estocástico

Question

Defina $E(X)_t=\exp(X_t-\frac{1}{2} \langle X \rangle _t)$ donde $(X_t)$ es un semimartingale continuo adaptado. Entonces es trivial que se trata de un semimartingale continua y es la única solución a la SDE:

$$dZ_t = Z_t dX_t \text{ with } Z_0 = 1$$

Para demostrarlo sé $2$ soluciones:

$1)$ Aplicar la fórmula de Ito a $\frac{1}{Z_t}$

$2)$ Consideremos una solución de la forma $\exp(X_t+V_t)$ y aplicar de nuevo la fórmula de Ito para obtener el resultado.

Sin embargo, me encontré con otra solución y no estoy muy seguro de por qué es cierto:

Aplicando Ito a la semimartingale $X_t \frac{1}{2} \langle X \rangle_t$ y el exponencial $x \rightarrow \exp(x)$ muestra

$$dE(X)_t=E(X)_td(X_t \frac{1}{2} \langle X \rangle_t)+\frac{1}{2}E(X)_td \langle X_t \frac{1}{2} \langle X \rangle_t \rangle=E(X)_tdX_t$$

No estoy muy seguro de la última desigualdad. Dice que (con un poco de imaginación en lugar de los puntos)

$$d(\dots)+d \langle \dots \rangle =d(\dots)$$

Para ser sincero, no tengo ni idea de por qué esto es así. Le estaría muy agradecido si pudiera ayudarme.

Answer 1

Consideremos por separado el primer y el segundo término de la parte derecha de tu ecuación:

Primer mandato: Si $(X_t)_{t \geq 0}$ et $(Y_t)_{t \geq 0}$ son semimartingales, entonces

$$\int_0^T f(t) \, d(X_t-Y_t) = \int_0^T f(t) dX_t - \int_0^T f(t) dY_t$$

para cualquier correspondencia (agradable) $f$ y, por lo tanto

$$d(X_t-Y_t) = dX_t - dY_t.$$

Esto implica que

$$E(X_t)_t d(X_t-\tfrac{1}{2} \langle X \rangle_t) = E(X_t) \, dX_t - \frac{1}{2} E(X_t) \, d\langle X \rangle_t. \tag{1}$$

Segundo mandato: Por supuesto, $X_t = X_0 + M_t+A_t$ es un semimartingale, y esto implica que $$Y_t := X_t - \frac{1}{2} \langle X \rangle_t = X_0 + \underbrace{M_t}_{\text{martingale part}} + \underbrace{\left( A_t - \frac{1}{2} \langle X \rangle_t \right)}_{\text{finite variation part}}$$ es también un semimartingale. Por la propia definición del corchete cuadrado, $N_t = \langle Y \rangle_t$ es el único proceso de variación finita tal que $M_t^2 - N_t$ es una martingala local continua. Por lo tanto, $\langle Y \rangle_t = \langle X \rangle_t$ es decir

$$\langle X- \tfrac{1}{2} \langle X \rangle \rangle_t = \langle X \rangle_t.$$

En consecuencia, obtenemos para el segundo término de su ecuación que

$$\frac{1}{2} E(X_t) \, d\langle X- \tfrac{1}{2} \langle X \rangle \rangle_t = \frac{1}{2} E(X_t) \, d\langle X \rangle_t. \tag{2}$$

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Combinación de $(1)$ et $(2)$ encontramos que

$$E(X_t)_t d(X_t-\tfrac{1}{2} \langle X \rangle_t) + \frac{1}{2} E(X_t) \, d\langle X- \tfrac{1}{2} \langle X \rangle \rangle_t = E(X_t) \, dX_t.$$