Un haz proyectivo $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ sobre una variedad proyectiva lisa $X$ (sobre cualquier campo base $k$ ) es una variedad proyectiva lisa.
Este sistema $X$ es noetheriano. Por el Ejercicio II.7.10. de Hartshorne, para una gavilla localmente libre de rango $n+1$ en $X$ su proyectivización $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ es siempre un $\mathbb{P}^{n}$ -bundle over $X$ y a la inversa, puesto que $X$ también es regular, cada $\mathbb{P}^{n}$ -bundle over $X$ surge de esta manera.
Por definición (véase aquí ) el morfismo $\pi \colon \mathbb{P}(\mathcal{E})\to X$ es proyectiva en el sentido de EGA. Pero $X$ admite una gavilla amplia invertible, por lo que en este caso EGA-proyectivo imlpide Hartshorne-proyectivo (véase el mismo referencia un poco más abajo). Puesto que la composición de morfismos proyectivos de Hartshorne es proyectiva de Hartshorne y el morfismo de estructura $X\to \text{Spec}(k)$ es Hartshorne-proyectivo, también lo es $\mathbb{P}(\mathcal{E})\to \text{Spec}(k)$ y por lo tanto $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ es un subconjunto cerrado de algún espacio proyectivo sobre su campo base $k$ .
Suavidad de $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ en $k$ se deduce como usted dice de las trivializaciones: la suavidad es una propiedad local y $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ es localmente un producto de un conjunto abierto de $X$ (liso) y un proyectivo $n$ -space over $k$ (también suave).
La irreductibilidad puede demostrarse del siguiente modo: si $U$ es una trivialización abierta en $X$ por irreducibilidad de $X$ , $U$ también es irreducible. Ahora $\pi^{-1}(U)$ es el producto de dos variedades (irreducibles) cuasi proyectivas sobre $k$ y, por tanto, también irreducible. Pero en realidad $\pi^{-1}(U)$ es denso en $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ por lo que obtenemos que $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ es irreducible.
Para ver que $\pi^{-1}(U)$ es denso en $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ tienes dos argumentos:
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El mapa (topológico) $\pi$ es abierto y, por tanto, la preimagen de un subespacio denso es densa.
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Para cualquier otro abierto trivializador $V$ la intersección $U\cap V$ es denso (de nuevo por irreducibilidad de $X$ ) y por tanto la preimagen $\pi^{-1}(U\cap V)=\pi^{-1}(U)\cap \pi^{-1}(V)$ es denso en $\pi^{-1}(V)$ . Pero estos conjuntos cubren $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ Por lo tanto $\pi^{-1}(U)$ es denso en $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ .
