Valor mínimo de $a^2 \cot (10^ \circ)+b^2\cot (70^ \circ)+c^2\cot (130^ \circ)$

Question

Sea $a,b,c$ sean números reales tales que $a+b+c=3$ encuentre el valor mínimo de

$$a^2 \cot (10^ \circ)+b^2\cot (70^ \circ)+c^2\cot (130^ \circ)$$ He resuelto muchas preguntas de este tipo utilizando la desigualdad A.M.-G.M. pero como $\cot (130^ \circ)$ es negativo, por lo que no puede aplicarse aquí. También tengo un resultado en mente que es

$$\cot (60 ^\circ-\theta)\cot (\theta)\cot (60 ^\circ+\theta)=\cot (3\theta)$$ y en esta pregunta si escribimos $ \cot(130^\circ)=-\cot (50^\circ)$ se puede aplicar el resultado anterior a $\cot (10^ \circ),\cot (70^ \circ),\cot (50^ \circ)$ pero no soy capaz de juntar todo y llegar a la respuesta final que se da como $\sqrt{27}$ . Agradecería cualquier ayuda o sugerencia.

Answer 1

No hay valor máximo ni mínimo. Toma $a=1,b=x\in\mathbb{R},c=2-x$ . Entonces $$a^2\cot(10^\circ)+b^2\cot(70^\circ)+c^2\cot(130^\circ)\\ =(\cot(130^\circ)+\cot(70^\circ))x^2-4\cot(130^\circ)x+4\cot(130^\circ)+\cot(10^\circ)\xrightarrow{x\to\infty}-\infty $$ ya que la anterior es una función cuadrática con coeficiente principal negativo: $\cot(130^\circ)+\cot(70^\circ)=\cot(70^\circ)-\cot(50^\circ)<0$ . Por lo tanto, la expresión no tiene límites por debajo. Del mismo modo, tomando $a=2-x,b=x,c=1$ conduce a $$a^2\cot(10^\circ)+b^2\cot(70^\circ)+c^2\cot(130^\circ)\\ =(\cot(10^\circ)+\cot(70^\circ))x^2-4\cot(10^\circ)x+4\cot(10^\circ)+\cot(130^\circ)\xrightarrow{x\to\infty}\infty $$ desde $\cot(10^\circ)+\cot(70^\circ)>0$ . Por lo tanto, la expresión también es ilimitada por encima.

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¿Dónde está el $\sqrt{27}$ que has mencionado? Si establecemos los multiplicadores de Lagrange para este problema (los cálculos aquí son relativamente sencillos), obtenemos el punto $(a,b,c)=\left(-\cot(70^{\circ})\cot(130^{\circ}),-\cot(10^{\circ})\cot(130^{\circ}),-\cot(10^{\circ})\cot(70^{\circ})\right)$ y la expresión es igual a $\sqrt{27}$ en este punto. Sin embargo, los multiplicadores de Lagrange no siempre nos dan los extremos. En este caso particular, tenemos un punto de silla de montar allí.

Answer 2

Desde $\cot (10^ \circ)$ et $\cot (70^ \circ)$ son positivos y $a^2$ et $b^2$ son positivos, porque son reales, se quiere minimizar su contribución. Configure $a=b=0$ entonces $c=3$ y el valor mínimo es $9\cot (130^ \circ) < 0$ por lo que la respuesta es incorrecta a menos que tomemos la raíz negativa.

$$\sqrt{27} = -3 \sqrt{3} $$ pero sabemos que $$\cot (120^ \circ)=\frac{-\sqrt{3}}{3}$$ así que $$9 \cot (120^ \circ)=-3 \sqrt{3}=\sqrt{27}$$ así que creo que tu libro tiene un error de imprenta.