Sea ${\bf N}^\omega = \bigcup_{m=1}^\infty {\bf N}^m$ denotan el espacio de todas las secuencias finitas $(N_1,\ldots,N_m)$ de números naturales. A falta de un nombre mejor, permítanme llamar a una familia ${\mathcal T} \subset {\bf N}^\omega$ a juego de bloqueo si toda secuencia infinita $N_1,N_2,N_3,N_4,\ldots$ de números naturales debe contener necesariamente un conjunto de bloqueo $(N_1,\ldots,N_m)$ como segmento inicial. (Para la aplicación que tengo en mente, también se podría exigir que ningún elemento de un conjunto de bloqueo sea segmento inicial de ningún otro elemento, pero ésta no es la propiedad más esencial de estos conjuntos).
Se puede pensar en un conjunto de bloqueo como si describiera una máquina que toma una secuencia de entradas de números naturales, pero que siempre se detiene en un tiempo finito; también se puede pensar en un conjunto de bloqueo como si definiera un subárbol del árbol rooteado ${\bf N}^\omega$ en la que no hay caminos infinitos. Algunos ejemplos de conjuntos de bloqueo son
- Todas las secuencias $N_1,\ldots,N_m$ de longitud $m=10$ .
- Todas las secuencias $N_1,\ldots,N_m$ en el que $m = N_1 + 1$ .
- Todas las secuencias $N_1,\ldots,N_m$ en el que $m = N_{N_1+1}+1$ .
La razón por la que me topé con este concepto es que tales conjuntos pueden utilizarse para pseudofinitizar cierta clase de enunciados infinitos. En efecto, dada cualquier secuencia $P_m(N_1,\ldots,N_m)$ de $m$ -es fácil ver que la afirmación
Existe una secuencia infinita $N_1, N_2, \ldots$ de números naturales tales que $P_m(N_1,\ldots,N_m)$ es cierto para todos $m$ .
es equivalente a
Para cada conjunto de bloqueo ${\mathcal T}$ existe una secuencia finita $(N_1,\ldots,N_m)$ en ${\mathcal T}$ tal que $P_m(N_1,\ldots,N_m)$ retenciones.
(De hecho, la primera afirmación implica trivialmente la segunda, y si la primera falla, entonces se puede construir un contraejemplo a la segunda estableciendo el conjunto de bloqueo ${\mathcal T}$ como aquellas secuencias finitas $(N_1,\ldots,N_m)$ para lo cual $P_m(N_1,\ldots,N_m)$ falla).
De todos modos, este concepto parece haber sido estudiado antes, y con un nombre estándar. (Sólo he utilizado "conjunto de bloqueo" porque no conocía el nombre existente en la bibliografía). Así que mi pregunta es: ¿cuál es el nombre correcto para este concepto, y hay algunas referencias con respecto a la estructura de tales familias de secuencias finitas? (Por ejemplo, si sustituimos los números naturales por ${\bf N}$ aquí por un conjunto finito, entonces por el lema de Konig, una familia es bloqueante si y sólo si hay sólo finitamente muchas secuencias finitas que no contienen un segmento inicial bloqueante; pero no pude encontrar una caracterización similar en el caso contable).
