Derivación de las series de Fourier

Question

A pesar de una larga búsqueda, he sido incapaz de encontrar una derivación de la serie de Fourier en la que el autor no comience dando:

$$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left(a_n \cos(\frac{2\pi}{T}nx) + b_n \sin(\frac{2\pi}{T}nx)\right)$$

Y de aquí derivar los coeficientes $a_n$ , $b_n$ . ¿De dónde procede esta primera fórmula? Sólo he podido encontrar retazos de información, y lo que he encontrado carecía de mucha explicación y/o era muy esotérico.

Answer 1

Hay una buena respuesta formal aquí y el comentario de @Qiaochu Yuan que hace referencia a la solución de ecuación del calor $$\frac {\partial u}{\partial t}=\alpha \left( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} \right)=\alpha \Delta u\tag 1$$ donde $u$ es la temperatura en un punto y momento y $\Delta u$ el Laplaciano (suma de segundas derivadas parciales), que quedaría esbozado como este en una dimensión con $P$ que abarca desde $[0,1)$ et $0$ en los límites:

La solución vendrá dada por una función del espacio $f(x)$ $\times$ en función del tiempo $T(t).$ Puesto que en el LHS de $(1)$ tenemos el parcial con respecto al tiempo $fT'=\alpha \Delta f\cdot T.$ Y dividiendo por $Tf$ en ambos lados, $\frac{T'}T=\alpha \frac{\Delta f}f,$ una constante en todos los puntos y tiempos, que tiene que ser decreciente, y puede equipararse a un término constante $-\alpha \omega^2.$ Esto da lugar a ecuaciones diferenciales: $T'=-\alpha \omega^2 T,$ que tiene una solución exponencial $T(t)= C e^{-\alpha \omega^2 t},$ y una ecuación de función propia, $\Delta f(x)=-\omega^2 f(x),$ donde $-\omega^2$ es el valor propio. Esto conduce a cualquier solución de la forma $u(x,t) = \sum C_\omega f(x) \cdot e^{-\alpha \omega^2 t}$ que debe satisfacer la ecuación de la función propia. Ahora, esta función propia tiene una segunda derivada en el LHS, y la solución será de la forma general $f= a \cos(\omega x) + b \sin(\omega x).$ Esto puede resolverse observando que la condición inicial es $0$ en el punto $0$ del intervalo $[0,1),$ eliminando la contribución de los cosenos. El hecho de que el límite en el otro extremo del intervalo sea también $0$ hace que los valores propios sean múltiplos enteros de $\pi,$ resultando una solución de la forma

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty C_n \sin(n\pi)\cdot e^{-\alpha n^2\pi^2t}$$

La motivación de la definición de la serie de Fourier es expresar cualquier función periódica que se comporte mínimamente bien $s(x)$ como una suma infinita de ondas sinusoidales. Esto se puede conseguir sólo con senos o con cosenos (el formato anterior de los jpeg es un ejemplo de esto último), e introduciendo un desplazamiento de fase: al fin y al cabo, los cosenos son sólo ondas sinusoidales desplazadas noventa grados.

Cada uno de los términos de la suma, por ejemplo, $\cos\left(2\pi\frac{n}{P}x\right)$ et $\sin\left(2\pi\frac{n}{P}x\right)$ son elementos de una función base de un espacio vectorial (gracias @mjw), correspondientes a la frecuencia armónica $\frac n P.$ Aquí dentro $P$ representa el intervalo unitario. El factor $2\pi$ puede entenderse como la división de un ciclo alrededor del círculo unitario por la longitud de un intervalo. $n$ pueden interpretarse como topes en una esfera.

La idea es que la función señal que queremos expresar como suma de ondas sinusoidales se "puntea" con cada una de las funciones base a lo largo del dominio $P:$ La integral que se utilizará para resolver cada coeficiente $a_n$ et $b_n$ es un producto interno; una proyección de la señal sobre la función base, al igual que el producto punto de dos vectores es máximo cuando los dos vectores están alineados, el peso (coeficiente) de una función base particular en la serie infinita (teórica - claramente no en la práctica) reflejará la capacidad de esa función base para aproximarse a la función $s(x).$

Retomando el comentario de @mjw, las funciones base $\left\{1,\cos\left(2\pi\frac{n}{P}x\right), \sin\left(2\pi\frac{n}{P}x\right) \right\}$ son ortogonales, por lo que la determinación de los coeficientes es factible simplemente suponiendo que $s(x)$ puede representarse efectivamente como un FS, es decir

$$s(x)=\small\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left(a_n \cos\left(2\pi\frac{n}{P}x\right) + b_n \sin\left(2\pi\frac{n}{P}x\right)\right)$$

y multiplicando ambos lados por cada una de las funciones base que se considerarán, y procediendo a integrar (producto interior) sobre el periodo $P$ . La ortogonalidad de estos vectores base anulará todos los sumandos, excepto el que se extraiga, que se multiplicará por $\small \frac 1 2 P, $ explicando el ajuste frente al integral en el fórmula de los coeficientes . Si $P=2\pi,$ el coeficiente de la parte coseno de la ecuación para $n=1$ puede extraerse multiplicando por $\cos(1x)$ e integrando $a_{n=1}=\frac 2 {2\pi} \int_{-\pi}^\pi s(x) \cdot \cos\left(x\right)dx,$ por ejemplo, porque en la expansión de $s(x),$ sólo $\cos(x)\cos(x)$ será diferente de cero: