independencia condicional de variables aleatorias

Question

Estoy intentando demostrar el siguiente hecho para variables aleatorias. Se utiliza sin prueba en alguna parte. Creo que debería ser fácil, pero no puedo averiguarlo.

Sean A,B,C y D cuatro mapas medibles de un espacio de probabilidad. Denotamos independencia por $A \bot B$ e independencia condicional mediante $A\bot B |C$ .

Supongamos $A \bot B | (C,D)$ et $B\bot D | C$ . Entonces $A \bot B | C$ .

Answer 1

Para cualquier $a,b\in \mathbb{R}$ (suponiendo que $A$ et $B$ son de valor real),

\begin{align} \mathsf{P}(A\le a,B\le b\mid C)&=\mathsf{E}[\mathsf{P}(A\le a, B\le b\mid C,D)\mid C] \\ &=\mathsf{E}[\mathsf{P}(A\le a\mid C,D)\mathsf{P}(B\le b\mid C,D)\mid C] \\ &=\mathsf{E}[\mathsf{P}(A\le a\mid C,D)\mid C]\mathsf{P}(B\le b\mid C) \\ &=\mathsf{P}(A\le a\mid C)\mathsf{P}(B\le b\mid C). \end{align}